2018年全国高中数学联合竞赛A

2022-03-22 08:02:13 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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2018年全国高中数学联赛竞赛

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.设集合A{1,2,3,…99}，B{2x|xA},C{x|2xA}，则BC的元素个数为______.

2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是偶数的概率为______.

x2y2

4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别

ab

是F1、F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P。已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则PF1F2的面积为______.

5.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，

且满足

1x2

的解集为______. f()1,f(2)2，则不等式组

1f(x)2

6.设复数z

满足|z|1，使得关于x的方程zx22zx20有实根，则这样的

复数z的和为______.

7.设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为______.

8.设整数数列a1,a2,…,a10满足a103a1,a2a82a5，且ai1{1ai,2ai},i1,2,…,9，则这样的数列的个数为______。

二、

解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

|log3x1|,0x9,

9.（本题满分16分）已知定义在R上的函数f(x)为f(x)

x94x,

设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值围。

10.（本题满分20分）已知实数列a1,a2,a3,…满足：对任意正整数n，有an(2Snan)1，其

中Sn表示数列的前n项和。证明： 1）对任意正整数n，有an2n； 2）对任意正整数n，有anan11。

11.在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y4x的过点F(1,0)的弦，AOB的外接圆交

2

抛物线于点P（不同于点O,A,B）。若PF平分APB，求|PF|的所有可能值。

加试（A卷）

一、（本题满分40分）设n是正整数，a1,a2,,an,b1,b2,…,bn，A,B均为正实数，满足aibi,aiA,i1,2,…,n，且b1b2…bn

a1a2…an

B。 A

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二、（本题满分40分）如图，ABC为锐角三角形，ABAC，M为BC

边的中点，点D和E分别为ABC的外接圆BAC和BC的中点，F为ABC的切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB。

证明：若BNEM，则DFFG。（答题时请将图画在答卷纸上）

三、（本题满分50分）设n,k,m是正整数，满足k2，且nm2k1n。

k

设A是{1,2,…,m}的n元子集。证明：区间(0,

n

)中的每个整数均可表k1

示为aa，其中a,aA。

四、（本题满分50分）数列{an}定义如下：a1是任意正整数，对整数

n1，an1是与ai互素，且不等于a1,…an的最小正整数。证明：每个

i1n

正整数均在数列{an}中出现。

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