函数奇偶性的判定方法

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函数奇偶性的判定方法



函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法. 一、定义域判定法

例1 判断函数f(x)＝x＋1·x－1的奇偶性.

分析 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件.若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数.

解

x－1≥0，

要使函数f(x)有意义，则

x＋1≥0.





解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}. 因为定义域不关于原点对称，

所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

评注 用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性. 二、变式法

1＋x2＋x－1例2 判断f(x)＝的奇偶性. 2

1＋x＋x＋1

分析 直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证±1(f(x)≠0).

1

fxf－x

＝




解 f(x)的定义域为R，关于原点对称. 当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点.

f－x1＋x2－x＋12

因为当x≠0时，＝＝－1，

fx1＋x2－x－12所以f(－x)＝－f(x).

又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数.

评注 为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或±1(f(x)≠0). 三、图象法

x＋2，x＜－1，

例3 判断函数f(x)＝0，－1≤x≤1，

－x＋2，x＞1

fxf－x

＝



的奇偶性.

分析 本题可用图象法较为直观地判断.



解 作出函数f(x)的图象，如图所示.

因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数.

评注 一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数

2




也不是偶函数.



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