正方体和正四面体

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《正方体和正四面体》，欢迎阅读！

高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学

近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。

第一节 正方体与正四面体

在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧：

【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示）

【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH4、CCl4、NH4＋、 SO42－……它们的键角都是109º28’，那么这个值是否能计算出来呢？

如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD中点E，截取面ABE（如图1-2所示），过A、

B做AF⊥BE，BG⊥AE，AF交BG于O，那么 ∠AOB就是所求的键角。我们只要找出AO（=BO）



与AB的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例

图1-1 图1-2

题1。当然找出AO和AB的关系还是有一定难度的。先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题：

【例题2】CH4分子在空间呈四面体形状，1个C原子与4个H原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图1-3所示为一个正方体，已画出1个C原子(在正方体中心)、1个H原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H原子的合适位置和3条共价键，任

意两条共价键夹角的余弦值为 ①

【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶图1-3 点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的位置。

【解答】答案如图1-4所示。

【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个 顶点中不相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体，图1-4

第 1 页 共 4 页


正四面体的棱长即为正方体的棱长的2倍，它们的中心是互相重合的。

【分析】回到例题1，将正四面体ABCD放入正方体中考虑，设正方体的边长为1，则AB为面对角线长，即2，AO为体对角线长的一半，即3/2，由余弦定理得cosα＝(AO2＋BO2－AB2)/2AO·BO＝－1/3

【解答】甲烷的键角应为 π－arccos1/3

【练习1】已知正四面体的棱长为2，计算它的体积。

【讨论】利用我们上面讲的思想方法，构造一个正方体，那么正四面体就相当于正方体削去四个正三棱锥（侧面为等腰直角三角形），V正四面体＝a3－4×(1/6)×a3。

若四面体相对棱的棱长分别相等，为a、b、c，求其体积。 我们也只需构造一个长方体，问题就迎刃而解了。 【练习2】平面直角坐标系上有三个点（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3）求这三个点围成的三角形的面积。

【讨论】通过上面的构造思想，你能构造何种图形来解决呢？是矩形吧！怎样表达面积呢？你认为下面的表达式是否写得有道理？

S△＝（max{a1，a2，a3}－min{a1，a2，a3}）×（max{b1，b2，b3}－min{b1，

1

b2，b3}）－（a1a2b1b2＋a2a3b2b3＋a3a1b3b1）

2

【练习3】在正四面体中体心到顶点的距离是到底面距离的几倍，能否用物理知识去理解与解释这一问题呢？

【讨论】利用物理中力的正交分解来解决这一问题，在平面正三角形中，从中心向顶点构造三个大小相等，夹角为120º的力F1、F2、F3。设F1在x轴正向，F2、F3进行正交分解在x、y轴上，在x轴上的每一个分力与F1相比就相当于中心到底面与到顶点距离之比，而两个分力之和正好与F1抵消，即大小相等。显然中心到顶点距离应为到底边距离的2倍。

在空间，构造四个力Fi（i＝1，2，3，4），F1在x轴正向（作用点与坐标原点重合），F2、F3、F4分解在与x轴与yz面上，yz面上三个力正好构成正三角形，而在x轴（负向）上有三个分力，其之和与F1抵消，想想本题答案应为3吗？当然这个问题用体积知识也是易解决的。 让我们再回到正题，从上面的例题1，2中，我们了解了正四面体与正方体的关系，虽然这是一个很浅显易懂的结论，但我们还是应该深刻理解和灵活应用，帮助我们解决一些复杂的问题。先请再来看一个例题吧：

【例题3】SiC是原子晶体，其结构类似金刚石，为C、Si两原子依次相间排列的正四面体型空间网状结构。如图1-5所示为两个中心重合，各面分别平行的大小两个正方体，其中心为一Si原子，试在小正方体的

第 2 页 共 4 页



●

● Si ○ C

图1-5


顶点上画出与该Si最近的C的位置，在大正方体的棱上画出与该Si最近的Si的位置。两大小正方体的边长之比为_______；Si—C—Si的键角为______(用反三角函数表示)；若Si—C键长为a cm，则大正方体边长为_______cm；SiC晶体的密度为________g/cm3。（NA为阿佛加德罗常数，相对原子质量 C.12 Si.28）②

【分析】正方体中心已给出了一个Si原子，那么与Si相邻的四个C原子则在小正方体不相邻的四个顶点上，那么在大正方体上应画几个Si原子呢？我们知道每个碳原子也应连四个硅原子，而其中一个必为中心的硅原子，另外还剩下4×3＝12个硅原子，这12个点应落在大正方体上。那么这12个又在大正方体的何处呢？

前文介绍正方体时曾说正方体有12条棱，是否每一条棱上各有一个碳原子？利用对称性原则，这12个硅原子就应落在各棱的中点。让我们来验证一下假设吧。

过大正方体的各棱中心作截面，将大正方体分割成八个小正方体，各棱中点、各面心、顶点、中心构成分割后正方体的顶点。原来中心的硅原子就在分割后八个正方体的顶点上了，由于与一个碳原子相邻的四个硅原子是构成一个正四面体的。利用例2的结论，分割后的正方体上另三个硅原子的位置恰为原来大正方体的棱心（好好想一想）。那么碳原子又在分割后的正方体的哪里呢，毫无疑问，在中心。那么是否每个分割后的正方体的中心都有碳原子呢？这是不可能的，因为只有四个碳原子，它们应该占据在不相邻的四个正方体的中心。碳原子占据四个硅原子构成的最小正四面体空隙的几率为1/2，那么反过来碳原子占据碳原子四面体空隙的几率又是多少呢？也1/2吧，因为在空间，碳硅两原子是完全等价的，全部互换它们的位置，晶体是无变化的。

我们可以把大正方体看成SiC晶体的一个基本重复单位，那么小正方体（或分割后的小正方体）能否看成一个基本重复单位呢？这是不行的，因为有的小正方体中心是有原子的，而有些是没有的。

大小两个正方体的边长应是2:1吧，至于键角也就不必再说了。最后还有一个密度问题，我们将留在第二节中去分析讨论。

【解答】如图1-6所示（碳原子在小正方体不相邻的四个顶点上，硅原子在大正方体的十二条棱的中点 上） 2:1 arcos (－1/3) 43/3 153/2NAa3

图1-6

【练习4】金刚石晶体是正四面体型的空间网状结构，课本上的金刚石结构图我们很难理解各原子的空间关系，请用我们刚学的知识将金刚石结构模型化。

【练习5】在例题3中，如果在正方体中心不画出Si原子，而在小正方

第 3 页 共 4 页


体和大正方体上依旧是分别画上C原子和Si原子，应该怎么画呢？

【讨论】还是根据例题3 的分析，在例题3中，将大正方体分割成小正方体后，我们所取的四个点在大正方体上是棱心和体心，那么我们是否可以取另外四个点呢？它们在大正方体中又在何位置呢？与原来的位置（棱心＋体心）有什么关系呢？

【练习参考答案】

111．a3；(a2b2c2)(b2c2a2)(c2a2b2)

36

2．该表达式是正确的； 3．3倍

4．只需将例题3中将Si原子变成C原子，就是我们所需的金刚石结构模型，大正方体就是金刚石的晶胞（下文再详述）。

5．可以取另外四个点，C原子的位置无变化，Si原子在大正方体的面心和顶点上（这不就是山锌矿的晶胞吗？下文再详述）；与原来的位置正好相差了半个单位，即只需将原来的大正方体用一水平面分成两等份，将下面部分平移到上面一部分的上面接上即可。



本文不着重探讨其中涉及纯理论的内容，大家可参考相应的竞赛书籍和大学教材。

第 4 页 共 4 页

本文来源：https://www.wddqxz.cn/a7a92123b868a98271fe910ef12d2af90242a82e.html