93全国高中数学联赛试题及详细解析

2022-03-21 08:15:20 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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93全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(_，y)| |tanpy|+sin2p_=0}，N={(_，y)|_2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）

(A)4 (B)5 (C)8 (D)9 5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)-1 6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分）

1．二次方程(1-i)_2+(l+i)_+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为

________． 2．实数_，y满足4_2-5_y+4y2=5，设 S=_2+y2，则+=_______． 3．若zÎC，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是________.[学科网Z__K] 4．整数的末两位数是_______.三、（本题满分20分）

三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线

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DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D¢，则D¢为三棱锥S－ABC的外接球球心．四、（本题满分20分）

设00，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m_1>_2>_3>0，要使

log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是_______. 6．三位数(100，，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．

【答案】34

【解析】首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．三、（本题满分20分）

三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线

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DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为，则为三棱锥S—ABC的外接球球心．四、（本题满分20分）

设00时，点M在⊙O外，此时，直线l与⊙O相离；当k=0时，点M在⊙O上，此时，直线l与⊙O相切；当k<0时，点M在⊙O内，此时，直线l与⊙O相交． ∴ AP==，同理，BQ=，CR=．则AB´CR+BC´AP－AC´BQ= AB´CR+BC´AP－(AB+BC)´BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR) =BC×－AB×

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