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数与形——携手并肩的搭档
令狐文艳
奥涅格曾说：“正如树枝和树干连在一起那样，脱离树枝的树干很快会枯死。”处处都有且需要合作，数学也不例外。
何为数学？数学是以抽象的形式，追求高度精确，成为人类精密思维的一种典范。数学分为代数和几何两大类，表面看似他们毫不相干，相差甚远，其实，它们是互相依存，密切相连，携手并进的最佳搭档，数形结合在解题中胜似如虎添翼。
数学家华罗庚有首短诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。。。。。。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离！”其可见数形结合求解策略的重要和优越性。
对于数形结合，函数表现得最为淋漓尽致。函数关系式鲜明地展现了代数的奇妙和不可争辩的计算，而函数图像则是将数美轮美奂地在图中表示。
当然，在我们的学习中数形搭档的配合对解题的推波助澜的例子也是信手拈来。如：
直线y=ax(a＞0)与双曲线
3
y= x 交于
A（x1,y1 ），B
（x2，y2）两点，则 求4x1y23x2y1
令狐文艳
该题如果用代数的方法，联立方程组求点坐标，再求值，这不仅要有很高的计算能力而且步骤繁多且复杂。但如果认真分析本题，绘出草图，会发现直线、双曲线在坐标系下的两个交点是关于原点或中心对称的。这个发现带来的信息就是A、B两点的横坐标与纵坐标分别互为相反数， yax
即
x1x2,y1y2 .
于是，4x1y23x2y14x1(y1)3(x1)y1x1y1， 由于点
A（
x1,y1
）在双曲线上，
y
3B
x
所以
y1
3
x1 即 ：x1y13
通过数形结合方法解题，脉络清晰分明，简单明了。其实，数形结合策略也可防误求优，如：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 x，即：当n为非负实数1
时
，
如
果
n
2
xn2,xn；
像
4
00.480；22；0.680；1.4931……，试求：满足x
3x
的
所有非负实数x的值。
初看此题难免会一头雾水，可当我们把思绪从题目的4代数转向几何，可以认识到
3x
是一个正比例函数的表达
令狐文艳
A
令狐文艳
式，如果能在同一坐标系画出yx与们的交点即为所求的，（如下图） Y=x的图像与以
4x
y= 3 的图像，它
433x，1，2
y=3的图像交于点(0,0 ),(4),( 2)所
33
x=0,4 ，2.
该题从“形”的角度，思维跳跃，利用数形结合成功化繁为简。
在实际的生活中，数形结合这两携手并进的搭档的身影也是随处可见。就以建筑设计为例，这既需要进行一番周密的计算，也应有一副简略的大概轮廓构图。如果只计算不构图，而凭空臆想，那只能是空谈；只构图不计算，那就显得毫无意义可言。
数形两搭档打下了数学这片广袤无垠的天地，它们犹如两支蜡笔，若是各只半边天只能单调乏味，可若融会贯通，就将把这天地打扮得五彩斑斓。
正是有了数形结合，才使得解题更为灵活；正是有了数形结合，才使得数学更为妙趣横生。
数学的学习中，让数与图携手并进，相辅相成，带领我们去探索更多得数学奥秘。
y
y
4x3
2
Y
2
1
1
令狐文艳
0
1
2
x
0
本文来源：https://www.wddqxz.cn/a6bececbedf9aef8941ea76e58fafab068dc4407.html
2022-09-27
