高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理

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高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理

三余弦定理和三正弦定理 1.三余弦定理(又叫最小角定理)

1)设点A为平面α上一点,过A点的斜线AO在平面α上的射影为ABAC为平面α上的任意直线,那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为:

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB

即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值?射影与平面内直线夹角的余弦值。

2)定理证明:



3)说明:这三个角中,角θ是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积。斜线θ是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。

与平面所成角 1

2.设二面角MABN的度数为α,在平面M上有一条射线AC它和棱AB所成角为β,和平面N所成的角为γ,则sinγ=sinα·sinβ(如图).

1)定理证明:

何综合题,你会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线!



如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用,用于解答立体几1. (1994全国)如图,已知A1B1C1ABC是正三棱柱,D


AC中点,若AB1⊥BC1,求面DBC1与面CBC1所成的二面角度数。



2. (1986上海)已知Rt△ABC的两直角边AC=2BC=3.P斜边AB上一点,现沿CP将此

直角三角形折成直二面角ACPB(如下图),当AB=7时,求二面角PACB的大小。



3.已知菱形ABCD的边长为1,∠BAD=60°,现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C(如下图)( 1)求异面直线ACBD成的角;( 2)求二面角A-CD-B的大小。



4.2012四川)如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线

交半球面于点,过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为_________________


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