向量公式汇总

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向量公式汇总

平面向量

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC 。

a+b=（x+x' ， y+y'） 。 a+0=0+a=a 。 向量加法的运算律： 交换律： a+b=b+a ；

结合律： （a+b）+c=a+（b+c） 。 2、向量的减法

如果 a、b 是互为相反的向量，那么

a=-b， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为 0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减 ” a=（x,y） b=（x',y'） 则 a-b=（x-x',y-y'）. 3、数乘向量

实数 入和向量a的乘积是一个向量，记作 2a,且I力I =1入I ?l al。

当0时，2a与a同方向； 当2 0时，2与a反方向； 当2=0时，2=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数 入，都有2a=0o 注：按定义知，如果

2=0，那么2=0或a=0o

实数入叫做向量a的系数，乘数向量

2a的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压缩。

当I 2I > 1时，表示向量a的有向线段在原方向（

2 0）或反方向（入v 0） 上伸长为原来的I入I倍；

当I入I v 1时，表示向量a的有向线段在原方向（2> 0）或反方向（入v 0） 上缩短为原来的I入I倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律： （ 2 a）?b= 2（a?b）=（a?o2b） 向量对于数的分配律（第一分配律）： （入+卩）a=入a+卩a.

数对于向量的分配律（第二分配律）： 2（a+b）= 2a+2b.

数乘向量的消去律：① 如果实数 入工且入a=，那么a=b。② 如果a^O且入a=，那么 入=卩

4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,bo作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0<

〈a,b>

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈 a，若 a、b 共线，则 a?b=+- I a II b I。

向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x'+y?y' o 向量的数量积的运算律 a?b=b?a （交换律）；

（入a）?b=入（a关于数乘法的结合律）； （a+b）?c=a?c+b?c （分配律） ； 向量的数量积的性质 a?a=|a的平方。

b>；


a丄b 〈 - 〉 a?b=O。 |a?b| < |a|?|b|

向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、 向量的数量积不满足结合律，即：

(a?b)?c工a?(b?c例如：(a?b)A2工aA2?b^2

2、 向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a頁唯不岀 b=c。 3、 |a?b| 工 |a|?|b|

4、 由 |a|=|b| ，推不岀 a=b 或 a=-b。 5、向量的向量积

定义：两个向量 a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作

a>b。若a、b不共线，则a>b的模是：l

a>b

I =|a|?|b|?sin〈 a， b〉； axb的方向是：垂直于 a和b，且a、b和axb按这个次序构成右手系。若

a>b=O。

向量的向量积性质：

a、b共线，则

I a^I是以a和b为边的平行四边形面积。

aXa=0o

a II b< =〉a>b=O。 向量的向量积运算律 axb=-b a

(入a x b= ( a>b) =a x(入 < ；

(a+b) xc=a >C+b X

注：向量没有除法， 向量的三角形不等式 1、 II aI -

向量AB/向量CD'是没有意义的。

Ib I I < I a+b I a I + I b I；

① 当且仅当 a、 b 反向时，左边取等号； ② 当且仅当 a、 b 同向时，右边取等号。 2、 II aI -

Ib I I < I a-b I a 1 + I b Io

① 当且仅当 a、 b 同向时，左边取等号； ② 当且仅当 a、 b反向时，右边取等号。

6. 定比分点

定比分点公式(向量

P1P=2?向量PP2)

入，使 向量P1P= 2?向量PP2,

设P1、P2是直线上的两点，P是丨上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若 P1 ( x1,y1) ， P2(x2,y2) ， P(x,y) ，则有 OP=(OP1+2 OP2)(1+ 2；)(定比分点向量公式) x=(x1+ 2 x2)/(1+ 2 ),

y=(y1+ 2 y2)/(1+ 。2()定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段 三点共线定理

若0C= 2OA + QB ,且2+尸1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式

在厶ABC中，若 GA +GB +GC=O,则G ABC的重心 ［编辑本段 ］向量共线的重要条件

若b^Q,则a

P1P2的定比分点公式

空间向量

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