高中数学 不等式的基本性质

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高中数学 不等式的基本性质

不等式的基本性质

1.不等式的定义:a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质:

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有: (1)abb

(2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时,abacbc c0时,abac 运算性质有: (1)ab,cda+cb+d (2)ab0,cd0acbd (3)ab0anbn(nN,n1)

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(4)ab0(nN,n1)

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

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