2.2.3待定系数法教案

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2.2.3 待定系数法

【学习要求】

1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式； 2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题． 【学法指导】

通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 ．这种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

k

2.正比例函数的一般形式为 y＝kx(k≠0) ，反比例函数的一般形式为y＝ (k≠0) ，一次函数的一般形式为

x

y＝kx＋b(k≠0) ，二次函数的一般形式为 y＝ax＋bx＋c(a≠0) . 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法．

探究点一 待定系数法的概念

问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(－3,4)，如何求这个函数的解析式？

4

答：我们可设所求的正比例函数为y＝kx，其中k待定，根据已知条件，将点(－3,4)代入可得k＝－.

3

4

所以所求的正比例函数是y＝－x.

3

问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？

答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？

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答： 解析式分别为y＝kx(k≠0)，y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax＋bx＋c(a≠0)，它们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个．

问题4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？ 答： 当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等． 探究点二 用待定系数法求一次函数

问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？ 答： 只需要一个条件．

问题2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？ 答： 需要2个独立的条件．因为一次函数的解析式中有2个待定的系数．

例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．

解： 设所求的一次函数是f(x)＝kx＋b(k≠0)，其中k，b待定. 根据已知条件，得方程组22k＋b－3k＋b＝5 2b－－k＋b＝1

2



k－b＝5即解此方程组，得k＝3，b＝－2. 因此所求的函数是y＝3x－2. k＋b＝1

小结： 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式． 跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．

2

解： 设该一次函数是y＝ax＋b， 由题意得f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝ax＋ab＋b＝9x＋8. a＝9因此有

ab＋b＝8

2





a＝3

， 解方程组，得

b＝2



a＝－3

或

b＝－4



. 所以一次函数为f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.

探究点三 用待定系数法求二次函数

问题1 二次函数解析式有哪几种表达式？

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答： 二次函数解析式有三种形式：一般式：y＝ax＋bx＋c； 两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ；

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顶点式：y＝a(x－h)＋k.

问题2 我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？ 答： 需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数． 问题3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？

2

答： (1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为y＝ax＋bx＋c；

2

(2)已知二次函数图象的顶点坐标(m，n)，可设解析式为y＝a(x－m)＋n； (3)已知二次函数图象与x轴有两个交点，可设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．

例2 已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝5，求这个函数．

2

解： 设所求函数为f(x)＝ax＋bx＋c (a≠0)，其中a，b，c待定， 0＋0＋c＝－5

根据已知条件，得方程组a－b＋c＝－4

4a＋2b＋c＝5

2

2



，解此方程组，得a＝2，b＝1，c＝－5.

因此，所求函数为f(x)＝2x＋x－5.

小结: 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.

跟踪训练2 已知二次函数图象的顶点为(－1，－3)，图象与y轴交点为(0，－5)，求函数的解析式．

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解: 设所求的二次函数为y＝a(x＋1)－3, 由条件得：点(0，－5)在抛物线上，

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所以有a－3＝－5，得a＝－2. 故所求的抛物线解析式为y＝－2(x＋1)－3. 即y＝－2x－4x－5.

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例3.已知函数f(x)＝x－4ax＋2a＋6，若函数的值域是[0, ＋∞)，求函数的解析式．

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解: 因为函数的值域是[0, ＋∞)， 所以Δ＝16a－4(2a＋6)＝0，解得a＝－1或a＝.

2

所以f(x)＝x＋4x＋4或f(x)＝x－6x＋9.

小结: 用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式．其步骤可简记为四个字“设、列、求、写．”

跟踪训练3 二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，求此二次函数的解析式．

解: 因为二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点， 所以可设二次函数为f(x)＝a(x＋2)(x－3)，

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将C点坐标(0，－3)代入f(x)的表达式，得－6a＝－3， 解得a＝.

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所以二次函数是f(x)＝(x＋2)(x－3)， 即f(x)＝x－x－3.

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练一练：当堂检测、目标达成落实处

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1.二次函数y＝－x－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 ( ) A．－9 B．9 C．3 D．－3

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解析: ∵y＝－(x＋3)＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.

2.已知y＋5与3x＋4成正比例，且当x＝1时，y＝2.则y与x的函数关系式为______________． 解析: 设y＋5＝k(3x＋4)，由x＝1时，y＝2， 得2＋5＝k(3＋4)，所以k＝1， 所求函数关系式为y＝3x－1.

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3.若函数y＝x＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.

a＋2a＋b

解析: 对称轴x＝－＝1， 又＝1， ∴b＝6.

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课堂小结：

1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式．

2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.

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