第五讲 不等式

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第五讲 不等式

【知识梳理】

1.实数的基本性质

(1)abab0;

(2)abab0;（用于比较大小） (3)abab0.

2.不等式的主要性质： (1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd (4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc ab0,cd0acbd

11

(5)倒数法则：ab,ab0

ab

(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

3. 一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数yax2bxc(a0)、相应的方程ax2bxc0(a0)之间的关系：

判别式

b24ac

0 0 0



二次函数

yax2bxc



（a0）的图象





一元二次方程



有两相异实根 x1,x2(x1x2)

有两相等实根

axbxc0

2

a0的根

ax2bxc0(a0)的解集



x1x2

b 2a

无实根



xxx或xx

1

2

bxx

2a



R

ax2bxc0(a0)的解集



xx

1

xx2



4.一元二次不等式恒成立情况小结：

a0

．

0a02

a0(2)axbxc0（）恒成立．

0

2

(1)axbxc0（a0）恒成立




5.基本不等式

(1)两个数的均值不等式：若a,bR，则

ab

≥ab（等号仅当ab时成立） 2

(2) 最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和 有最小值。

【例题讲解】

题型一 不等式基本性质

1. 例1. （1）已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是 A、abac2bc2 B、ac2bc2ab

C、a3b311

ab

D、a2b2a|b|

（2）已知a,b,c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是( )

A.abac B. c(ba)0 C.cb2ab2 D.ac(ac)0(3)已知a0,1b0,那么a,ab,ab2的大小关系为_________________

【巩固训练】

1.设a>b，不等式⑴a2

>b2

，⑵

1a>1b⑶1ab>1a

能成立的个数为（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 2.设M2a(a2)3,N(a1)(a3),aR则有（ ）

Ａ．MN Ｂ．MN Ｃ．MN Ｄ．MN 3．已知－

2≤α<β≤2

，则2的范围为 ．

4. 已知ab0,cd0,求证：(1)3ad3bc;(2)eace

bd

.



5. 已知20a34,24b60，求ab,ab及a

b

的范围.

题型二 解一元二次不等式

例4.解下列不等式

(1) x27x120； (2) x22x30；

(3)

x22x10；

(4)

x22x20．






【巩固训练】解下列不等式：

x3

0 （1）

x7

（2）x(3x)x(x2)1 （3）1x2x12

2

x22x3

0 （4）2

x5x6



题型三 简单的含参二次不等式

例5.（1）关于x的方程ax25xc0的解集为{x|2x3}，则a____,c_____

（2）若关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|

ax2bxc0的解集为_____________.



11

x}，则关于x的不等式32

例6.(1)若关于x的不等式x2mx

m

0的解集为R，则m的取值范围为_____________. 2

(2)已知关于x的不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围为___________




【巩固训练】：

1.若不等式(1a)x24x60的解集为{x|3x1}，则a=_________ 2.当m是什么实数时，方程mx2(1m)xm0有实根？

3.当a为何值是，关于x的不等式(a21)x2(a1)x10的解为全体实数？



题型四 基本不等式的应用

例7. （1）下列命题中正确的是 ( )



A．当x0且x1时,lgx12

lgxC．当0

B．当x0，x12

x



2

,sin

21

的最小值为22 D．当0x2,x无最大值 sinx

（2）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q1，设P

a3a9

，Qa5a7，则P与Q的大小2

关系是 （ ） A．P > Q B．P < Q C．P = Q D．无法确定



例8. 已知正数x,y满足x2y1,求

11

的最小值有如下解法： xy

解：∵x2y∴(

1且x0,y0.∴

11111()(x2y)222xy42 xyxyxy

11

)min42. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． xy





【巩固训练】

1. 若实数a、b满足a+b=2，是3+3的最小值是 （ ） A．18 2. 已知正数x、y满足

B．6

C．23

D．243

a

b

81

1，则x2y的最小值是 （ ） xy

Ａ．18 Ｂ．16 C．8 D．10


3.已知x1，则函数yx

1

的最小值为____________ x1

4. 函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1上，其中mn0,则

12

的最小值为 . mn



例9. 村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留

1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

【巩固训练】

1.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.



2. 某种汽车，购买是费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费9千元，汽车的维修费第一年为2千元，第二年为4前元，第三年为6千元……，依等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时年平均费用最少）？






【家庭作业】：

1.如果a0,b0，那么，下列不等式中正确的是（ ）

11

 （B）ab （C）a2b2 （D）|a||b| ab11

2.不等式的解集是（ ）

x2

A．(,2) B．(2,) C．(0,2) D．(,0)(2,)

（A）

3. 若a、b、cR,ab，则下列不等式成立的是( ) （A）

ab11

2.（D）a|c|b|c|. . （B）a2b2. （C）2

c1c1ab

2

2

2

2

4. 若角α，β满足－π＜α＜π，－π＜β＜π则2α＋β的取值范围是 （ ） A．（－π，0） 5. 不等式



π，π） D．π） B．（－π，π） C．（－3（－3，3

2

2

2

2

12x

0的解集是_________ . x1

6. 比较下列各组中两个代数式的大小：

⑴x2+3与3x ；

⑵已知a,b为正数，且a≠b，比较a3 +b3与a2b+ab



7.设函数f(x)lg(2x3)的定义域为集合M，函数g(x)1

合M，N；（2）集合MN，MN．

8. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

2

2

2

的定义域为集合N．求：（1）集x1

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