中学趣味数学6174猜想

2022-12-15 13:09:21 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《中学趣味数学6174猜想》，欢迎阅读！
猜想,趣味,数学,中学,6174
中学趣味数学6174猜想

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研讨了对四位数的一种变换:任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新陈列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换,得数k2.如此停止下去,卡普耶卡发现,无论k0是多大的四位数,

只需四个数字不全相反,最多停止7次上述变换,就会出现四位数6174.例如:

k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,

k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.

后来,这个效果就传达上去,人们称这个效果为6174效果,上述变换称为卡普耶卡变换,简称 K 变换.

普通地,只需在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是四位数),然后从k0末尾不时地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,那么必有某个m(m=7),使得km=6174.

更普通地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相反的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后,从k0末尾不时地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?如今曾经知道的是:

1 / 3

n=2,只能构成一个循环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,时断时续地做K变换,得出:36,27,45,09,81,27,...出现循环.

n=3,只能构成一个循环:(495). n=4,只能构成一个循环:(6174). n=5,曾经发现三个循

环:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933). n=6,曾经发现三个循

环:(642654,...),(631764,...),(549945,...). n=7,曾经发现一个循环:(8719722,...). n=8,曾经发现四个循

环:(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...)

n=9,曾经发现三个循

环:(864197532),(975296421,...),(965296431,...) 容易证明,关于任何自然数n=2,延续做K变换肯定要构成循环.这是由于由n个数字组成的数只要有限个的缘故.但是关于n=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包括数的个数)尚不清楚,这也是国际一些数学喜好者热衷于研讨的一个课题.

2 / 3