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2021中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令
营)试题及解
2021中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答 2021中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营） 第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分
一、 实数a1,a2, ,an满足a1 a2 an max(a) 1 k n 2k 0 2 ，求证： n3 n 1 i 1
ai ai 1 ．
证明 只需对任意1 k n，证明不等式成立即可． 记dk ak ak 1,k 1,2, ,n 1，则 ak ak ，
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ak 1 ak dk，ak 2 ak dk dk 1, ,an ak dk dk 1 dn 1， ak 1 ak dk 1,ak 2 ak dk 1 dk 2, ,a1 ak dk 1 dk 2 d1， 把上面这n个等式相加，并利用a1 a2 an 0可得
nak (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 0． 由Cauchy 不等式可得
(nak) (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 2 2
k 12 i i 1 n k i 1
n 12 i di i 1 2
n 12 n 12 n(n 1)(2n 1) n 12
i di di 6 i 1 i 1 i 1 n n 12 di 3 i 1 3 ， n3 n 1
所以 a 2k i 1 ai a i1 2 ．
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/a42a7e8b27c52cc58bd63186bceb19e8b9f6ec6b.html
2022-03-21
