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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第34届）
1. 设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一个整数．
求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积．
2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90o，AC·BD=AD·BC，
o a. 计算(AB·CD)/(AC·BD)；
b. 求证△ACD，△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直．
3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏．开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的
2
摆放着n个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子． 试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束．
4. 对平面上的三个点P，Q，R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P，Q，R共线当然有 m(PQR)=0)．
求证对任何点A，B，C，X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)．
5. 问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2， f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且f(n？
6. 有n>1盏灯L0，L1，...，Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk． 一盏灯只有开或关两个状态，初始时刻它们全是开着的，依次执行步骤s0，s1，...，：在步骤si， 如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做．试证明：
o a. 存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着； o b. 若n=2，则可使M(n)=n-1； o c. 若n=2
k+1k
2
，则可使M(n)=n2-n+1．
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2022-03-21
