有关弧长公式的应用举例

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有关弧长公式的应用举例

近年中考，有关弧长公式的计算问题逐渐成为命题的热点．我们知道，利用下面两个公式可以计算弧长：①l

nr1

；②S扇形lr．当然，运用这两个公式1802

及其变形也可以解决许多问题，下面以2005年中考题为例加以说明，供同学们参考．

一、求扇形圆心角的度数

例1 如图1，是排洪水管的横截面，若此管道的半径为54cm，水面以上部分的弓形的弧长为30πcm，则这段弓形所对的圆心角的度数为______． 析解：直接将公式①变形可得： n

180l18030

100．故填100°． r54

二、求阴影部分的面积

例2 如图2，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切AB于A，交OB的延长线于C，如果AB=3cm，AC=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．15cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2

析解：观察图形知：S阴影＝S△AOC－S扇形AOB，因此需要分别计算出△AOC与

11

S△AOC6412S扇形AOB369扇形OAB的面积．（cm2），由公式②得：

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（cm2），

所以S阴影＝S△AOC－S扇形AOB=12-9=3（cm2），故选D． 三、求滑轮旋转的度数

例3 一定滑轮的起重装置如图3，滑轮半径为12cm，当重物上升4πcm时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ） A．12°

B．30°

C．60°

D．90°

析解：在绳索与滑轮之间没有滑动的前提下，轮子是带着绳子在转动的，当轮子上的点A转到某一点A′时，绳子上的某一点也就从点A被带到某一点A′，

4绳子被带动上升了4πcm．也就是AA的长为4πcm，所以由公式①得：

12n

，180

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解得n=60．故选C．

四、求扇形圆心角的度数和纸杯的表面积

例4 图4是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．

解：由题意可知：AB=6π，CD=4π， 设∠AOB＝n°，AO＝r，CO=r-8， 由公式

nrn(r8)

4， =6π，

180180

可得方程组

6180nr，

．

4180nr8n.n45，

解之，得．

r24.

所以扇形OAB的圆心角是45°． 因为r=24，r-8=16，

1

所以由公式②，得S扇形OCD41632，

2

1

S扇形OAB62472．

2

所以S纸杯侧面积＝S扇形OAB－S扇形OCD ＝72π-32π=40π， S纸杯底面积＝π×22＝4π．

所以S纸杯表面积＝40π＋4π＝44π．

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