高中数学公式柯西不等式

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第一课时二维形式的柯西不等式（一）

2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2 ①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2. 证法一：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=….=(adbc)20

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2 (acbd)2(adbc)2(acbd)2.（要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2b2，|n|c2d2.

urrurrurrurrurrurr

|n|gcosm,n，则|mgn||m|g|n|.∴….. ∵m•nacbd，且mgn|m|g

证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立.

∴[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式：

a2b2gc2d2|acbd|或a2b2gc2d2|ac||bd|或a2b2gc2d2acbd.

urururururur

④提出定理2：设,是两个向量，则|g|||||.

ur

r

urr

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

ururur

→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形） 2.教学三角不等式：

出示定理3：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2.

分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明

→变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： ①

(a2b2)(c2d2)(acbd)2；x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2

3.如何利用二维柯西不等式求函数yx12x的最大值?

要点：利用变式|acbd|a2b2gc2d2. 二、讲授新课：

1.教学最大（小）值：

①出示例1：求函数y3x1102x的最大值？ 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演

→变式：y3x1102x→推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR) ②练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2y22.教学不等式的证明：

①出示例2：若x,yR，xy2，求证：

1x

1

2. y

1211(xy2)(3222)(3x2y)2. 131313

分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）


要点：

1x11111112(xy)()[(x)2(y)2][()2()]… y2xy2xy

讨论：其它证法（利用基本不等式）

②练习：已知a、bR，求证：(ab)()4. 3.练习：

①已知x,y,a,bR，且

a

x

by

ax

b

1，则xy的最小值. y

1a1b

要点：xy()(xy)….→其它证法

②若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式） 变式：若x,y,zR，且xyz1，求xyz的最大值. 第三课时一般形式的柯西不等式

2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2 二、讲授新课：

1.教学一般形式的柯西不等式：

urururur

①提问：由平面向量的柯西不等式|g|||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ ②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设a1,a2,L,an,b1,b2,L,bnR，则 讨论：什么时候取等号？（当且仅当

aa1a2

Ln时取等号，假设bi0） b1b2bn

联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22Lan2，Cb12b22Lbn2，则有B2AC0，可联想到一些什么？

③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）

2222

fx）（a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)，则 要点：令（

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2+（anxbn)20.

又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，

2(a1b1a2b2anbn)4(a12a22Lan2)g(b12b22Lbn2)≤0

2

即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.） ④变式：a12a22Lan2(a1a2an)2.（讨论如何证明） 2.教学柯西不等式的应用：

①出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式： ②练习：若x,y,zR，且

1x

11yz

1，求x的最小值. yz23

1n

③出示例2：若a>b>c，求证：要点：(ac)(

114

. abbcac

1111)[(ab)(bc)]()(11)24 abbcabbc

②提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b2···+anbn(同序和)

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