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小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用
【例】 (人教版九年级上册教材第90页第14题)如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,判定△ABC的形态,并证明你的结论.
1.如图,延长BP至E,假设∠EPA=∠CPA,判定△ABC的形态并证明你的结论.
2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,DB=DC.求证:AD是△ABC外角∠EAC的平分线.
3.如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形; (2)求圆心O到BC的距离OD.
4.如图,△ABC内接于⊙O,P为弧AB上异于A,B两点的一动点时,当△ABC满足什么条件时,PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.假设能,请证明,假设不能,请说明理由.
5.(1)如图1,△ABC内接于⊙O,AD为∠BAC的平分线,过D作DE垂直于AB于E,AE与△ABC的两边AB,AC有怎样的关系呢?
(2)如图2,假设AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时,AE与△ABC的两边AB,AC又有怎样的关系呢?
6.如图,平面直角坐标系中,O′为y轴上一点,⊙O′交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点.直线AE交⊙O′于F点,连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问:当点F在弧AC上运动时,FB-FA与FH的比值是否为定值?并说明理由.
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7.如图,△ABC的三个顶点均在⊙O上,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交⊙O于点D,连接BD,DC.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)假设⊙O的半径为10 cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
参考答案
例 证明:因为∠APC=∠ABC,∠CPB=∠BAC,
又因为∠APC=∠CPB=60°.所以∠ABC=∠BAC=60°. 于是∠ACB=60°.所以△ABC为等边三角形.
1.△ABC是等腰三角形,理由:因为∠CPA=∠ABC,四边形APBC是圆内接四边形,所以∠EPA=∠ACB.因为∠EPA=∠CPA,所以∠ACB=∠ABC.所以AB=AC.故△ABC是等腰三角形. 2.证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ∴∠DCB+∠DAB=180°.又 ∠DAE+∠DAB=180°, ∴∠DCB=∠EAD. ∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB. ∵∠DBC=∠DAC, ∴∠DAC=∠EAD. ∴AD平分∠EAC.
3.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠APC=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°. ∴△ABC是等边三角形.
(2)连接OB、OC.可得∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°. ∵OB=OC,
1
∴∠OBD=∠OCD=×(180°-120°)=30°.
2∵∠ODB=90°, 1
∴OD=OB=4.
2
4.当AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由: ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,又∵∠APE+∠APB=180°,∠ACB+∠APB=180°, ∴∠APE=∠ACB.又∵∠APC=∠ABC,
∴∠APE=∠APC.即AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE. 1
5.(1)AE=(AB+AC).
2
理由:在AB上截取AF=AC,连接BD、CD、FD. ∵∠FAD=∠CAD,AD=AD,
∴△FAD≌△CAD.于是FD=CD.又∵BD=CD,
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