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2018-2019学年湖北省襄阳市樊城区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将其序号在答题卡上涂黑作答. 1.(3分)方程4x=8x的解是( ) A.x=2
B.x=0
C.x1=0,x2=2
D.x1=﹣2,x2=2
2
2.(3分)下列四个交通标志图案中,中心对称图形共有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.(3分)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.55°
B.70°
2
C.125°
2
D.145°
4.(3分)将一元二次方程x﹣4x+3=0化成(x+m)=n的形式,则n等于( ) A.﹣3
B.1
2
C.4 D.7
5.(3分)关于x的一元二次方程x+bx+c=0的两个实数根分别为﹣2和3,则( ) A.b=1,c=﹣6
B.b=﹣1,c=﹣6
C.b=5,c=﹣6
D.b=﹣1,c=6
6.(3分)如图,AB、CD相交于点O,AD∥CB,若AO=2,BO=3,CD=6,则CO等于( )
A.2.4
B.3
C.3.6
D.4
7.(3分)如图,一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形,任意旋转这个转盘1次,当旋转停止时,指针指向阴影区域的概率是( )
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A.
B.
2
C. D.
8.(3分)对于二次函数y=(x﹣1)+2的图象,下列说法正确的是( ) A.开口向下
C.顶点坐标是(1,2)
B.对称轴是x=﹣1 D.与x轴有两个交点
9.(3分)圆的直径是13cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是( ) A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
10.(3分)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B,以AB为边作▱ABCD,其中C、D在x轴上,则S▱ABCD为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)若点P(m,﹣2)与点Q(3,n)关于原点对称,则(m+n)
2
2019
.
12.(3分)若关于x的方程x﹣kx+9=0(k为常数)有两个相等的实数根,则k= . 13.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AD⊥BC于点D,则△ABD与△ADC的面积比为 .
14.(3分)等腰三角形底边所对的外接圆的圆心角为140°,则其顶角的度数为 . 15.(3分)飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)的函数关系式为y=﹣x+60x,
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2
则飞机着陆后滑行 m才停下来.
16.(3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,DE交AC于点F,则tan∠BDE= .
三、解答题(本大题共9小题,共72分) 17.(6分)解方程:x+2x﹣1=0.
18.(7分)某小区在绿化工程中有一块长为20m,宽为8m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为102m,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度.
2
2
19.(7分)阅读材料,回答问题: 材料
题1:经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同,求三辆汽车经过这个十字路口时,至少要两辆车向左转的概率
题2:有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁(一把钥匙只能开一把锁),第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是多少?
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1:在口袋中放三个不同颜色的小球,红球表示直行,绿球表示向左转,黑球表示向右转,三辆汽车经过路口,相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球. 问题:
(1)事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件? (2)设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2,请简要说明你的方案. (3)请直接写出题2的结果.
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20.(7分)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是A(3,3)、B(1,2),△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1. (1)画出△A1OB1,直接写出点A1,B1的坐标; (2)求在旋转过程中,线段AB所扫过的面积.
21.(7分)如图,直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点,A点的坐标为(1,2) (1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出当mx>时,x的取值范围; (3)计算线段AB的长.
22.(8分)如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC于E. (1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为⊙O的切线.
23.(10分)为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
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(1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?
24.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CH⊥AB于H,∠CAB=30°.
(1)如图1,求证:AH=3BH;
(2)如图2,点D为AB下方⊙O上一点,点E为AD上一点,若∠BOE=∠CAD,连接BD,求证:OE=BD;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CE,若CE⊥AD,OA=14,求BD的长. 25.(10分)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6相交于A(,)和B(4,m),直线AB交x轴于点E,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)连结AC、BC,是否存在一点P,使△ABC的面积等于14?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△PAC与△PDE相似,求点P的坐标.
2
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2018-2019学年湖北省襄阳市樊城区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将其序号在答题卡上涂黑作答. 1.(3分)方程4x=8x的解是( ) A.x=2
22
B.x=0
C.x1=0,x2=2 D.x1=﹣2,x2=2
【解答】解:∵4x=8x, ∴4x(x﹣2)=0, ∴x=0或x﹣2=0, ∴x1=0,x2=2. 故选:C.
2.(3分)下列四个交通标志图案中,中心对称图形共有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解答】解:中心对称图形,即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合,第一个和第二个都不符合;
第三个和第四个图形是中心对称图形,中心对称图形共有2个. 故选:B.
3.(3分)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.55°
B.70°
C.125°
D.145°
【解答】解:∵∠B=35°,∠C=90°, ∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°, ∵点C、A、B1在同一条直线上,
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∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°, ∴旋转角等于125°. 故选:C.
4.(3分)将一元二次方程x﹣4x+3=0化成(x+m)=n的形式,则n等于( ) A.﹣3
2
2
2
B.1 C.4 D.7
【解答】解:x﹣4x+3=0, x﹣4x=﹣3 x﹣4x+4=﹣3+4, (x﹣2)=1, 即n=1. 故选:B.
5.(3分)关于x的一元二次方程x+bx+c=0的两个实数根分别为﹣2和3,则( ) A.b=1,c=﹣6
B.b=﹣1,c=﹣6
C.b=5,c=﹣6
D.b=﹣1,c=6
2
2
22
【解答】解:根据题意得﹣2+3=﹣b,﹣2×3=c, 所以b=﹣1,c=﹣6. 故选:B.
6.(3分)如图,AB、CD相交于点O,AD∥CB,若AO=2,BO=3,CD=6,则CO等于( )
A.2.4
B.3
C.3.6
D.4
【解答】解:如图,∵AD∥CB, ∴
;
∵AO=2,BO=3,CD=6, ∴故选:C.
,解得:CO=3.6,
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7.(3分)如图,一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形,任意旋转这个转盘1次,当旋转停止时,指针指向阴影区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:如图:转动转盘被均匀分成6部分,阴影部分占2份,转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=; 故选:B.
8.(3分)对于二次函数y=(x﹣1)+2的图象,下列说法正确的是( ) A.开口向下
C.顶点坐标是(1,2)
22
B.对称轴是x=﹣1 D.与x轴有两个交点
【解答】解:二次函数y=(x﹣1)+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点. 故选:C.
9.(3分)圆的直径是13cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是( ) A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
【解答】解:∵圆的直径为13 cm, ∴圆的半径为6.5 cm,
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm, ∴圆的半径≥圆心到直线的距离, ∴直线于圆相切或相交, 故选:D.
10.(3分)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例
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函数y=﹣的图象于点B,以AB为边作▱ABCD,其中C、D在x轴上,则S▱ABCD为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解答】解:设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b. 把y=b代入y=得,b=,则x=,即A的横坐标是,; 同理可得:B的横坐标是:﹣. 则AB=﹣(﹣)=. 则S▱ABCD=×b=5. 故选:D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)若点P(m,﹣2)与点Q(3,n)关于原点对称,则(m+n)【解答】解:∵点P(m,﹣2)与点Q(3,n)关于原点对称, ∴m=﹣3,n=2, 则(m+n)
2019
2019
=﹣1 .
=﹣1.
故答案为:﹣1.
12.(3分)若关于x的方程x﹣kx+9=0(k为常数)有两个相等的实数根,则k= ±6 . 【解答】解:∵方程x+kx+9=0有两个相等的实数根, ∴△=0,即k﹣4×1×9=0,解得k=±6. 故答案为:±6.
13.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AD⊥BC于点D,则△ABD与△ADC的面积比为 1:3 .
2
2
2
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【解答】解:∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAD=90°, 又∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠CDA=90°, ∴∠B+∠BAD=90°,
∴∠B=∠CAD,又∠ADB=∠CDA=90°, ∴△ABD∽△CAD, ∴
=(
),
2
∵∠B=60°, ∴
=
,
2
∴=()=.
故答案为:1:3.
14.(3分)等腰三角形底边所对的外接圆的圆心角为140°,则其顶角的度数为 70°或110° .
【解答】解:如图所示:
∵⊙O的弦AB所对的圆心角为140°, ∴∠ADB=∠AOB=70°, ∴∠AD′B=180°﹣70°=110°, ∴弦AB所对的圆周角为70°或110°. 故答案为:70°或110°.
15.(3分)飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)的函数关系式为y=﹣x+60x,则飞机着陆后滑行 600 m才停下来.
第10页(共22页)
2
【解答】解:∵y=﹣x+60x=﹣(x﹣20)+600, ∴x=20时,y取得最大值,此时y=600, 即该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来, 故答案为:600.
16.(3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,DE交AC于点F,则tan∠BDE=
.
22
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=90°,AC⊥BD, 设AD=DC=a, ∴AC=
a,
a,
∴OA=OC=
∵E是BC的中点, ∴CE=BC=a, ∵AD∥BC, ∴△AFD∽△CFE, ∴
=
=2,
a,
a,
∴CF=AC=∴OF=OC﹣CF=
∴tan∠BDE===,
故答案为:.
三、解答题(本大题共9小题,共72分)
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2
17.(6分)解方程:x+2x﹣1=0. 【解答】解:方程变形得:x+2x=1, 配方得:x+2x+1=2,即(x+1)=2, 开方得:x+1=±解得:x1=﹣1+
, ,x2=﹣1﹣
.
2
22
18.(7分)某小区在绿化工程中有一块长为20m,宽为8m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为102m,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度.
2
【解答】解:设人行通道的宽度为x米,根据题意得, (20﹣3x)(8﹣2x)=102, 解得:x1=1,x2=
(不合题意,舍去).
答:人行通道的宽度为1米. 19.(7分)阅读材料,回答问题: 材料
题1:经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同,求三辆汽车经过这个十字路口时,至少要两辆车向左转的概率
题2:有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁(一把钥匙只能开一把锁),第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是多少?
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1:在口袋中放三个不同颜色的小球,红球表示直行,绿球表示向左转,黑球表示向右转,三辆汽车经过路口,相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球. 问题:
(1)事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件? (2)设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2,请简要说明你的方案. (3)请直接写出题2的结果.
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【解答】解:题1:画树状图得:
∴一共有27种等可能的情况;
至少有两辆车向左转的有7种:直左左,右左左,左直左,左右左,左左直,左左右,左左左,
则至少有两辆车向左转的概率为:题2:列表得:
钥匙1 钥匙2 钥匙3
锁1 (锁1,钥匙1) (锁1,钥匙2) (锁1,钥匙3)
锁2 (锁2,钥匙1) (锁2,钥匙2) (锁2,钥匙3)
.
所有等可能的情况有6种,其中随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的2种, 则P=问题:
(1)至少摸出两个绿球;
(2)一口袋中放红色和黑色的小球各一个,分别表示不同的锁;另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个,分别表示不同的钥匙;其中同颜色的球表示一套锁和钥匙.“随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率”,相当于,“从两个口袋中各随机摸出一个球,两球颜色一样的概率”; (3).
20.(7分)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是A(3,3)、B(1,2),△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1. (1)画出△A1OB1,直接写出点A1,B1的坐标; (2)求在旋转过程中,线段AB所扫过的面积.
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.
【解答】解:(1)如图,△A1OB1即为所求三角形,A1(﹣3,3),B1(﹣2,1);
(2)∵OB=
=
,OA=
=3
,
∴S扇形OAA1=
=π,
S扇形OBB1=
=π,
π.
则线段AB所扫过的面积为:π﹣π=
21.(7分)如图,直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点,A点的坐标为(1,2) (1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出当mx>时,x的取值范围; (3)计算线段AB的长.
【解答】解:(1)把A(1,2)代入y=得:k=2,
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即反比例函数的表达式是y=;
(2)把A(1,2)代入y=mx得:m=2, 即直线的解析式是y=2x, 解方程组
得出B点的坐标是(﹣1,﹣2),
∴当mx>时,x的取值范围是﹣1<x<0或x>1;
(3)过A作AC⊥x轴于C, ∵A(1,2), ∴AC=2,OC=1, 由勾股定理得:AO=同理求出OB=∴AB=2
.
,
=
,
22.(8分)如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC于E. (1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为⊙O的切线.
【解答】证明:(1)连接AD; ∵AB是⊙O的直径,
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∴∠ADB=90°. 又∵DC=BD, ∴AD是BC的中垂线. ∴AB=AC. (2)连接OD; ∵OA=OB,CD=BD, ∴OD∥AC. ∴∠0DE=∠CED. 又∵DE⊥AC, ∴∠CED=90°.
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE. ∴DE是⊙O的切线.
23.(10分)为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元? 【解答】解:(1)由题意得出: w=(x﹣20)∙y =(x﹣20)(﹣2x+80) =﹣2x+120x﹣1600,
故w与x的函数关系式为:w=﹣2x+120x﹣1600;
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2
2
2
2
(2)w=﹣2x+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)+200, ∵﹣2<0,
∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200.
答:该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.
(3)当w=150时,可得方程﹣2(x﹣30)+200=150. 解得 x1=25,x2=35. ∵35>28,
∴x2=35不符合题意,应舍去.
答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.
24.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CH⊥AB于H,∠CAB=30°.
2
(1)如图1,求证:AH=3BH;
(2)如图2,点D为AB下方⊙O上一点,点E为AD上一点,若∠BOE=∠CAD,连接BD,求证:OE=BD;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CE,若CE⊥AD,OA=14,求BD的长. 【解答】(1)证明:如图1,连接BC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,AB=2BC, ∵CH⊥AB, ∴∠BCH=30°, ∴BC=2BH, ∴AB=4BH, ∴AH=3BH,
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(2)证明:连接BC、DC,
∵∠CAD+∠CBD=180°,∠BOE=∠CAD, ∴∠BOE+∠CBD=180°, ∵∠BOE+∠AOE=180°, ∴∠AOE=∠CBD, ∵
=
,
∴∠EAO=∠BCD,
由(1)得AB=2BC,AB=2OA, ∴OA=BC, ∴△OAE≌△BCD,
∴OE=BD; (3)解:过O作OM⊥AD于D, ∴AM=MD, ∵AO=OB, ∴BD=2OM,
∵∠BOE=∠CAD,∠BOE=∠BAE+∠OEA, ∠CAD=∠BAE+∠BAC, ∴∠OEA=∠BAC=30°, 设OM=x,则ME=
x,
由(2)得:△OAE≌△BCD, ∴AE=CD, ∵
=
,
∴∠ADC=∠ABC=60°, ∵CE⊥AD, ∴∠DCE=30°, ∴CD=2DE,AE=CD, ∴AE=2DE,
设AM=MD=y,则AE=y+∴y+
x,DE=y﹣x,
x=2(y﹣x),
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y=3x,
x,OM=x,
在Rt△OAM中,OA=14,AM=3OM+AM=OA,
=14,
解得:x1=∴OM=
,
. ,x2=﹣
(舍),
2
2
2
2
∴BD=2OM=2
25.(10分)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6相交于A(,)和B(4,m),直线AB交x轴于点E,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)连结AC、BC,是否存在一点P,使△ABC的面积等于14?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△PAC与△PDE相似,求点P的坐标.
2
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【解答】解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上, ∴m=4+2=6, ∴B(4,6), ∵A(
,),B(4,6)在抛物线y=ax+bx+6上,
2
∴,解得
2
,
∴抛物线的解析式为y=2x﹣8x+6;
(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n﹣8n+6), ∵点P是线段AB上异于A、B的动点, ∴
,
2
2
∴PC=(n+2)﹣(2n﹣8n+6), =﹣2n+9n﹣4, ∵△ABC的面积等于14, ∴PC•(xB﹣xA)=14,
=14,
2n﹣9n+12=0, △=9﹣4×1×12<0, 原方程无实数解,
∴不存在一点P,使△ABC的面积等于14; (3)∵PC⊥x轴, ∴∠PDE=90°, ∵△PAC与△PDE相似,
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22
2
∴△PAC也是直角三角形,
①当P为直角顶点,则∠APC=90°
由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在; ②若点A为直角顶点,则∠PAC=90°. 如图1,过点A(
,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.
过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形, ∴MN=AN=,
∴OM=ON+MN=+=3, ∴M(3,0).
设直线AM的解析式为:y=kx+b, 则:
,解得
,
∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为:y=2x﹣8x+6 ② 联立①②式,
2
解得:或(与点A重合,舍去),
∴C(3,0),即点C、M点重合. 当x=3时,y=x+2=5, ∴P1(3,5);
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③若点C为直角顶点,则∠ACP=90°. ∵y=2x﹣8x+6=2(x﹣2)﹣2, ∴抛物线的对称轴为直线x=2. 如图2,作点A(
,)关于对称轴x=2的对称点C,
,).
2
2
则点C在抛物线上,且C( 当x=时,y=x+2=∴P2(
,
).
,.
∵点P1(3,5)、P2(
)均在线段AB上,
,
).
∴综上所述,若△PAC与△PDE相似,点P的坐标为(3,5)或(
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