2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(有答案解析)

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2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷



一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 复数所对应的点位于复平面的

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 2. 函数

的定义域为 B. 且



D. 第四象限

A.

3. 若a，b， C.

，则下列不等式一定成立的是

D.







A.

4. 圆心在直线

B.

C.

上且与y轴相切于点



D. 的圆的方程是



A. C.

B. D.

5. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，

，则弦AB的长是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 设等差数列的公差为d，若，则“”是“为递减数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数

，则下列四个结论中正确的是

的图象关于的图象关于直线在区间在区间

中心对称

对称



，若



A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数

内有4个零点 上单调递增

8. 圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为

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A. C.





B. D.





9. 在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD

上的点，且满足，则的最大值是

A. 2

10. 设函数

B. 3 C. 4 D. 5

的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得

为常数成立，那么称函数在D上具有性质现有函数：

； ；

； ．

其中，在其定义域上具有性质的函数的序号是

B. C. 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 已知平面向量12. 在

，

，若

A.

，则

D.

______．



的展开式中，常数项为______用数字作答．

13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为______．

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14. 已知双曲线C的焦点为，

点Q是双曲线C的渐近线上一点，且

，实轴长为2，则双曲线C的离心率是______；若

，则的面积为______．

，

15. 颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为

其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量单位：，表示经口罩过滤后，

单位体积气体中含有的颗粒物数量单位：某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时2，的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，2，3，．



该研究小组得到以下结论：

在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； 在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；

在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；

在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．

其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共5小题，共71.0分）

__________若存在正整数n，16. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，

使得有最小值． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ求的最小值． 从，，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．

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17. 如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，

且

．

，，，

Ⅰ求证：平面CDEF；

Ⅱ求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；

Ⅲ设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得的长；若不存在，说明理由．

平面ADE？若存在，求线段AG



18. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生

活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程单位：万公里将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如图的频率分布直方图： Ⅰ求a的值；

Ⅱ该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；

Ⅲ设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为有同学认为

，你认为正确吗？说明理由．

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19. 已知椭圆C：

的离心率为

，且椭圆C经过点



交于点Q，设

Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线

，

，求证：

为定值．



20. 已知函数．

Ⅰ若曲线在点处的切线的斜率为1． 求a的值； 证明：函数在区间内有唯一极值点； Ⅱ当时，证明：对任意，．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B



解析：解：，它对应的点的坐标是，位于第二象限 故选：B．

先进行复数的乘法运算，得到，再由复数的几何意义得出其对应的复平面中的点的坐标，即可得出复数对应的点所在的象限

本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，解题的关键是熟练掌握乘法的运算规则及复数的几何意义

2.答案：B

解析：解：函数

，

解得

且， 的定义域为．

故选：B． 根据函数的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可． 本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题． 3.答案：D

解析：解：对于选项A：当时，，故选项A错误． 对于选项B：当，，时，错误． 对于选项C：当，，时，错误． 对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出故选项D正确． 故选：D．

直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 4.答案：A

解析：解：根据题意，要求圆的圆心在圆心在直线上，则设要求圆的圆心的坐标为， 又由要求圆与y轴相切于点，则圆心在直线上， 则，要求圆的半径， 故要求圆的方程为

；

，

故选：A．

根据题意，设要求圆的圆心的坐标为，由圆的切线的性质可得圆心在直线上，即可得m的值，进而可得要求圆的半径，将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得答案． 本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题． 5.答案：A

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解析：解：抛物线，， 由抛物线的定义可知，， 故选：A． 由题意可知，再结合抛物线的定义得，，代入数据即可得解．

本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题． 6.答案：C

解析：解：“”等差数列单调递减，又，数列为递减数列， 反之也成立． “”是“为递减数列”的充要条件． 故选：C． “”等差数列单调递减，又，利用复合函数的单调性即可判断出结论． 本题考查了等差数列的单调性、指数函数的单调性、复合函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.答案：C

解析：解：对于函数令令除B； 在区间故函数在区间

上，在区间上，

，当

内有4个零点，故C正确；

，

没有单调性，故D错误，

，

，0，时，

，

，求得，求得

，故函数

，

的图象不关于

中心对称，故排除A； 的图象不关于直线

对称，故排

，不是最值，故函数

故选：C．

根据三角函数的周期性，对称性以及最值性分别进行判断即可．

本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期性、对称性以及最值问题，结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题． 8.答案：D

解析：解：由题可知：， 在则又在所以

中，

，

中，由正弦定理可知：

，

，

，即

，

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故选：D． 先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出AC． 本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题． 9.答案：D

解析：解：设

建立如图所示的坐标系．

，

由可得同理可得

，

，，

，，

， ， ，

， ，

故选：D． 设

的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．

，建立如图所示的坐标系．，，，，

由，，可得，同理可得

，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．

本题考查了数量积运算性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 10.答案：A

解析：解：的定义域为R，函数的值域为R，对任意，都存在唯一的， 对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．

的定义域R，值域，对任意，都存在唯一的，使得

为常数不恒成立，例如，，不存在唯一的，故不是

定义域上具有性质的函数．

的定义域为，函数的值域是R，而且是单调增函数，所以对任意，

都存在唯一的， 对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．

的定义域为R，值域是R，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在的，

使得为常数，恒成立，但是不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数

故选：A．

对各个选项分别加以判断：根据“性质的函数”的定义，列出方程可以解出关于表达式且

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情况唯一的选项是和，而和通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案． 本题着重考查了抽象函数的应用，属于基础题．充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键．

11.答案：



解析：解：平面向量若解得

，则．

，，

，

故答案为：．

根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出m的值．

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题． 12.答案：15

解析：解：故展开式的常数项为故答案为：15

展开式的通项为

．

，令

得

，

利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0求出常数项． 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 13.答案：12

解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为下底面为等腰梯形，高为5的四棱锥体．

如图所示：



所以：．

故答案为：12．

首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．

本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

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14.答案：2 2



解析：解：由题意可得所以

所以双曲线的方程为：所以渐近线的方程为：由以所以

，

，

可得

，，

， ，设，即

为一条渐近线的点，

，可得

，所

即

，所以双曲线的离心率

，

故答案分别为：2，2．

由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由

可得

可得Q的纵坐标，进而求出

的

面积．

本题考查双曲线的性质及直线出垂直于数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．

15.答案：



解析：解：分别将原点O与各点相连，设表示线段的斜率，则

，

故越小，颗粒物过滤效果越好．

由图可知：， 在第1种口罩的4次测试中，第

1次测试时的颗粒物过滤效率最高，故错误； 由图可知：，

在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，故正确； 由图可知：，，，，

在第一次和第二次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高， 在第三次和第四次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，故错误，正确． 故答案为：．

比较各点与原点连线的斜率，从而得出各次测试中的颗粒物过滤效果的高低． 本题考查了函数图象，属于基础题．

时， 16.答案：解：

根据题意得，，解得， Ⅰ， Ⅱ



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或4时，时，

根据题意得Ⅰ所以当Ⅱ所以当

时，时，

根据题意得ⅠⅡ

．

，



，

，

，



所以当时，．

解析：分别选择，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可判断． 本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的简单应用，属于基础试题．

是正方形，， 17.答案：Ⅰ证明：

又，，平面CDEF；

Ⅱ解：以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴， 过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系． 则

0，4，

，， ，

设平面ADE的一个法向量为由

，取

，

， ，得

．

0，

，

1，

，

．

设直线BD与平面ADE所成角为， 则

．

直线BD与平面ADE所成角的正弦值为Ⅲ解：假设棱AB上存在点G，使得设则

平面ADE，t，

，．

；

平面ADE，



，即．

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3，，则．

故棱AB上存在点G，满足

，使得平面ADE．



解析：Ⅰ由ABCD是正方形，得，再由，利用直线与平面垂直的判定可得

平面CDEF；

Ⅱ以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线BD与平面ADE所成角的正弦值；

t，Ⅲ假设棱AB上存在点G，使得平面ADE，设，求出的坐标，

3，，故棱AB上存在点G，满足由求得，可得，使得平面

ADE．

本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

可得； 18.答案：解：Ⅰ由题意可得

1：2：4：3；Ⅱ组无人驾驶汽车的数量比为：若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有

辆，行驶里程在

这一组的无人驾驶汽车有

辆，

由题意可知X的可能取值为：0，1，2；

，

X的分布列为： X P

0

1

2

，

，



．

所以X的数学期望：

Ⅲ这种说法不正确．理由如下：

由于样本具有随机性，故、是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能更接近能更接近，所以不恒成立，所以这种说法不正确．

，也有可

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解析：Ⅰ利用频率分布直方图列出关系式，求解a；

Ⅱ求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望； Ⅲ判断有可能更接近，也有可能更接近，说明不恒成立，说明结果即可．

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，是基本知识的考查，中档题．

19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

Ⅱ证明：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，

， 直线与

联立可得

，

直线与椭圆联立

，

，整理可得：

，即

因为

，

，即

，

，

，，

，所以，，

所以，

所以可证得



为定值0．

解析：Ⅰ由由题意可得：，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

Ⅱ设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再与由

，

求出，的表达式，进而求出

联立求出Q的坐标，再的表达式，将两根之

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和及两根之积代入可得为定值．

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及由向量可得，与点的坐标的关系，属于中档题．

，， 20.答案：解：Ⅰ

曲线在点处的切线的斜率为1，，即． 由可知，， 令，， 当调递减，即而

存在唯一的

．

在在区间时，

，

单调递减， ，

，使得

，

，且当

，

时，

，当

时，

单调递增，即

单调递增；当

时，

，

单

函数故函数处取得极大值，

内有唯一极值点．

时，，

，

单调递增；当

时，

单调递减，

Ⅱ由Ⅰ可知，当

，

由于若递增， 若

即

，则，在上恒成立，即在上单调

即

，

，符合题意．

，则

，

存在时，

，

，使得

单调递减． ，且

时，对任意

，且当时，，单调递增；当

综上所述，当

解析：Ⅰ对函数求导得

令

上的单调性，而是

，

，符合题意．

． ，则，可得，

，可解得；

在上的单调性，也是

，所以存在唯一的

，则，在区间

在

的变号零点，故函数

时，

，由于

内有唯一极值点；

时，

单调递减，因为

，易证

在，使得当，且

，

Ⅱ由Ⅰ可知，当所以

上单调递增，所以

时，

单调递增；当

，所以分两类讨论：若

，符合题意；

时，

若

，可设存在

单调递减，故

单调递增；当

，符合题意．

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本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造新函数、虚设零点、灵活运用零点存在定理是解题的关键，考查学生的转化与化归能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．

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