等差数列求和公式求和的七种方法

2023-04-19 05:07:14 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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等差数列求和公式求和的七种方法

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 1.公式法 2.错位相减法 3.求和公式 4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=fn+1－fn，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点 1、余下的项前后的位置前后是对称的。 2、余下的项前后的正负性是相反的。 6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。例：求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + nn+1n+2n+3 = [nn+1n+2n+3n+4]/5

证明：当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5 假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + kk+1k+2k+3 = [kk+1k+2k+3k+4]/5 则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k+1k+2k+3k+4

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + kk+1k+2k+3 + k+1k+2k+3k+4 = [kk+1k+2k+3k+4]/5 + k+1k+2k+3k+4 = k+1k+2k+3k+4*k/5 +1 = [k+1k+2k+3k+4k+5]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证 7.并项求和法

（常采用先试探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n 方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n] 方法三：

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。 an=n-1^（n+1）等差数列的判定