无解与曾根

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在初中二年级下册数学第十六章中我们会遇到涉及到这样的题目：已知一个含有字母系数的分式方程无解或有增根，根据以上条件求这个字母的取值。在学生的课堂学习中，我发现很多同学对这一类型的题目理解不透彻，特别是对无解还是有增根区分不清楚，因此容易出现多解或是漏解的错误。现在我们就通过几个题目来加以辨析。



（解这一类型题目的基本方法是：不管具体的要求是什么，先在方程两边同乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再通过解所得的整式方程，是结果满足所给的条件即可。） 在上面这两个小题中，我们把两边同时乘以最简公分母得到整式方程化简后，未知数的系数是具体的数字，不含有字母系数，所以有增根和无解最后的结果都是一样的。 我们再看下面题目：






通过观察可以发现，这两个小题在把原分式方程化为整式方程后，出现了整式方程中未知数

的系数不再是单纯的数字，而是含有字母的式子

，并且这个系数我

们不能确定为不为0。如果为0，那么连这个整式方程都是无解的；如果不为0，则只需解出这个未知数的值，再令它使最简公分母为0即可。所以这种题目中有增根和无解最后的结果是不一样的，有增根其实只是无解的一种情况而已。 经过对（1）、（2）这两类不同题型的解答辨析可以对分式方程中涉及无解和有增根题目的求解方法技巧有如下总结：

1.找准最简公分母，并使两边每一项都同时乘以它，得到一个整式方程； 2.整理所得的整式方程，化为

的一般形式；

3.观察未知数的系数

①当未知数的系数是不含字母的数字时，此时原分式方程无解或有增根都是一样的，都是只有唯一的答案，只需直接解出未知数的值，这个解使最简公分母为0，从而求出相应字母的值即可。

②当未知数的系数是含有字母的单项式或多项式时，此时原分式方程或无解有增根就不同了。无解要分整式方程无解（未知数的系数等于0）和整式方程有解（未知数的系数不等于0）但分式方程无解（最简公分母等于0）两种情况讨论，有两个不同答案；有增根只是无解的一种情况，解出整式方程后在满足最简公分母为0再求出相应字母的值即可。

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