高中数学极限问题

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第九讲 极限与探索性问题

【考点透视】

1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

2．了解数列极限和函数极限的概念．

3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项.

2.几个常用的极限：①limC=C（C为常数）;②lim1=0;③limqn=0（|q|

n

n

n

n

＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当liman=a,

n

n

lim

bn=b时，lim （an±bn）=a±b;

n

例1.数列{an}满足:a11,且对于任意的正整数m,n都有amnaman,则

3

lim(a1a2

n

an)

( )

2

A.1 B.2 C.3 D.2

2

3






[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn0(q1)

n

的应用. [解答过程]由a

1



1111和aaa得a2,a3,ann. mnmn

92733

11

(1n)

31.lim(a1a2an)lim3

xx12 1

3

故选A. 例2．设常数

a0

，

21ax

x

4

展开式中x3的系数为

3

2

，则

lim(aa2an)_____.

n

[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程]

Tr1Ca

r4

4r

x

82r

x

1r2

，由x

1.

82r

x

1r2

31r4rx3,得r2,由C4a=知a=22

，所以

1

lim(aa2an)21，所以为n1

12

例3.把1(1x)(1x)

n→

2



其各项系数和为(1x)n展开成关于x的多项式，





an，则lim2an1等于( )

an1



（ ） A．1

4

B．1

2

C．1 D．2

n

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn0(q1) 的应用.

[解答过程] 当x1时,a

n

1(1x)(1x)

2

(1x)122

n2

12n22n1,

12

n

2an12(2n1)12n111∴limlimnlimlim(2)2. nnn→a1n→(21)1n→n→22n

故选D

例4.设等差数列an的公差d是2，前n项的和为



Sn

，则




2ann2 limnSn

．

n

思路启迪：由等差数列an的公差d是2，先求出前n项的和为S和通项an． [解答过程]

2

n

2

ana(n1)22n2a,Snna

2n(n1)2

n(a1)n, 2

2a

(2)212

an(2n2a)nnn∴limlimlim3. 2nnna1Snn(a1)n1

n

2

2

故填3 小结:

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） （2） （3） （4）

n

limlimlimlim

C=C（C为常数）; （1）p=0（p＞0）;

n

n

ankb

ncnkd

n

=a（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;

c

qn=0（|q|＜1）.

2

x2

例5.设正数a, b满足lim(x 解

aabxan12bn

n1

n1

a

axb)4则lim

nabn1（ an12bn

n1

）

（A）0

（B）1

4

（C）1

2

（D）1

:

a1

∵lim(x2axb)4,∴42ab4,∴.x2b2

则lim

a1

a[()n11]a[()n11]

a1 b2limlim.

xxan11n12b4()2b()2b

b2






故选B

小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念： （1）如果

x

lim

f（x）=a且

x

lim

f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大

x

时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.

（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→

xx0

a.

（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作

xx0

lim

f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋

近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作2.极限的四则运算法则： 如果limf （x）=a,

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

f（x）=a.

lim

g（x）=b,那么

xx0

lim

[f（x）±g（x）]=a±b;

lim

[f（x）·g（x）]=a·b;

xx0

limf(x)=a（b

g(x)

b

≠0）. 例6．

x3x2

limx1x1

=( )

B．等于l



A．等于0 C．等




于3 D．不存在

[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 例7．

x3x2x2(x1)limlimlimx21.故选x1x1x1x1x1

B

x21lim2( n12xx1

)

（C）1

2

（A）0 （B）1 （D）2

3

[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 故选D

例8.若f （x）=

3

x21(x1)(x1)x12 lim2limlim.

n12xx1n1(2x1)(x1)n12x13

x11x11

在点x=0处连续，则f （0）

=__________________. 思路启迪：利用逆向思维球解.

解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=limf （x）,

x0

limf （x）= lim

x0

x11

3

x0

=

lim

3

(x1)23x11

x11

x11

x0

=3.

2

答案: 3

2

例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且limf （x）=0,limf （x）

x1

x2

=－3,求这一函数最大值..

思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值.

解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c. ∴b=0.∴f （x）=ax2+c. 又limf （x）=

x1

limax

x1

2

+c=a+c=0,



x2

lim

f（x）=limax2+c=4a+c=－3,

x2




∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1. ∴f （x）的最大值为1.

例10.设f（x）是x的三次多项式，已知lim=

x2a

f(x)x2a

=lim

x4a

f(x)x4a

=1.

求lim

x3a

f(x)的值（ax3a

为非零常数）.

x2a

解答过程：由于① 同②

理

f

lim

f(x)x2a

=1,可知f（2a）=0.

（4a）=0.

由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.

这里A、C均为待定的常数. 由lim

x2a

x2a

f(x)

x2a

=1,即

lim

A(x2a)(x4a)(xC)

=limA（x－4a）（x－C）=1, x2ax2a

得A（2a－4a）（2a－C）=1, 即③

同理，由于lim

x4a

4a2A

－2aCA=－1.

f(x)

x4a

=1,

得A（4a－2a）（4a－C）=1, 即④

由③④得C=3a,A=

1

2a2

8a2A

－2aCA=1.

,






因而f（x）=∴lim=

12a2

x3a

12a2

（x－2a）（x－4a）（x－3a）. （x－2a）（x－4a）

2

f(x)=lim1

x3ax3a2a2

·a·（－a）=－1.

x

例11 a为常数，若

lim（

x21

－ax）=0,则a的值是____________..

思路启迪：先对括号内的的式子变形. 解答过程：∵

x

lim

（

x21

－ax）=

x

lim

x21a2x2x21ax

=

x

lim

(1a2)x21=0, x21ax

∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1时，分母→0, ∴a=1.

考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.

一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件： （1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）limf（x）存在；（3）limf

xx0

xx0

（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且limf（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.

xx0

2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.

3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,f(x)

g(x)

（g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续. 例12.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.

A.充分不必要 B.必要不充分






C.充要 D.既不充分又不必要

思路启迪：说明问题即可.

解答过程：f（x）在x=x0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f（x）=

πxπcos

xcos

的不连续点为( )

2（k=0,±1,±2k1

A.x=0 B.x=2,…）

C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） D.x=0和x=±1,±2,…）

思路启迪：由条件出发列方程解之.

解答过程：由cosπ=0,得π=kπ+π（k∈Z）,∴x=

x

x

2

2（k=0,2k1

2

(kZ). 2k1

又x=0也不是连续点,故选D 答案：D

e例14. 设f（x）=



x

ax

(x0),当(x0),

a为________时,函数f（x）是连续

的.

解答过程：limf（x）=

x0

x0

lim（a+x）=a, limf（x）=lime

x0

x0

x

=1,而f（0）

=a,故当a=1时,

x0

lim

f（x）=f（0）,

即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.

小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.






x例15.已知函数f（x）=

x为有理数,x为无理数,

函数f（x）在哪点连续( )

2

1x

A.处处连续 B.x=1 C.x=0 D.x=1 思路启迪：考虑结果的启发性. 解答过程：答案：D

例16.抛物线y=b（x）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴

a

limf（x）= lim

x

12

x

12

f（x）=f（1）.

2

影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以a为底的内

n

接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S的值.

y

B

y

OAxOAx

(1)(2)



思路启迪：先列出式子.

解答过程：S=lim［b·（1）2+b·（2）2+b·（3）2+…+b·（n1）2］

n

nnnn

2

·a

n

1222(n1)2

n3

n

=lim=lim

·ab

n

(n1)n(2n1)·ab=1ab.

36n3

例17.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）. （1）证明{an}是等比数列； （2）求lim（a1+a2+…+an）的值.

n






解答过程：（1）证明:记rn为圆On的半径， 则r1=ltan30°=

2

rn1rnrn1rn

3

6

l.

3

=sin30°=1,∴rn=1rn－1（n≥2）.

2

2

于是a1=πr12=πl

12



anan1

,

anan1

=（

rnrn1

）2=1,

9

∴{an}成等比数列.

（2）解：因为an=（1）n－1·a1（n∈N*）,

9

所以lim（a1+a2+…+an）=

n

a1119

=3πl.

2

32

例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的7,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到

9

停止运动所经过的路程和时间分别是多少? 解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=

2gh0

=10（m/s）,

9

那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v1=7v0,v2=（7）

9

2

v0,…,vn=（7）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为

9

h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×

v1

2

2g

=10×（7)2.

9

小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2, 则L2=2×v=10×（7）4.

22

2g9

由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为 Ln=10×（7）2n.

9

故从第一次到第n+1次所经过的路程为 Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,则整个过程总路程为






77()2[1()2n]99

721()

9

S=limSn+1=5+lim10×

n

n

=5+10

7()2971()2

9

=20.3（m）,小球从开始

下落到第一次与地面相碰经过时间t0=

2h0g0

=1（s）.

1

小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×v=2×

g

7,同理可得 9

tn=2×（7）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,则

9（s）. 考点4.新考题

例19．（本小题满分12分）

t=limtn+1=1+lim2×

n

n

77

()[1()n]99

71()

9

=8

已知数列{an}、{bn}与函数f(x)、g(x)，xR满足条件： b1b,anf(bn)g(bn1)(nN*)．

（I）若f(x)tx1(t0,t2),g(x)2x,f(b)g(b)，且nliman存在，求t的取值范围，并求nlim． an（用t表示）

（II）若函数yf(x)在R上是增函数，g(x)任意的nN*，an1an．

[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力.

a [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知



tbn11,1

得an1an1.又已知t2，

2an2bn1,

n1

f1(x),b1,f(1)1，证明对

可得

an1

212 (an).

t22t2

1



由f(b)g(b),t2,t0,可知a其首项为tb



2tt2是等比数列，

tb0,0,所以ant2t22t2

tt

,公比为，于是 t22








an

2tttt2 (tb)()n1,即an(tb)()n1.t2t22t22t2

n

又lima存在,可得0|t|1,所以2t2且t0.

2



liman

n

2 .

2t

n



12bn1,且t2，可得

解法二：由题设知tb

bn1

111 (bn).t22t2



1t11

0,0,所以bn是首项为bt22t2t2

由f(b)g(b),t2,t0,可知b等比数列.

bn

，公比为t的

2

11t1t1 (b)()n1,即bn(b)()n1.

t2t22t22t2

n

由a

2bn1可知,若liman存在,则limbn存在,于是可得0|

n

n

t

|1, 2

所以2t2且t0.

liman2limbn

n

n

2 .2t



解法三：由题设知tbn12bn1，即

bn1

t1

bn， 22

①

于是有

bn2

t1bn1, 22

n2

②

②－①得b

bn1

t

(bn1bn),令cnbn1bn，得 2

cn1cn. 由f(b)g(b),t2,t0可知c 所以{c}是首项为b

n

2

t2



1

b2b1

(t2)b1t

0,0, 22

b,公比为

t的等比数列，于是

2



t1()n

2(bb)b,bn1(c1c2cn)b121t 12

t4[1()n]

2(bb)2b.an2bn1212t






又lima存在,可得0|t|1,所以2t2且t0.

n

n

2



liman

n

42 (b2b1)2b.2t2t



说明：数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准. （Ⅱ）证明：因为g(x)

f(x),所以ang(bn1)f

an(nN*).

1

(bn1),即bn1f(an).

下面用数学归纳法证明a

n1

（1）当n1时,由f(x)为增函数,且f(1)1，得

a1f(b1)f(1)1,b2f(a1)f(1)1,a2f(b2)f(1)a1,





即a2a1，结论成立.

（2）假设n = k时结论成立，即ak1ak.由f(x)为增函数，得

f(ak1)f(ak),即bk2bk1，

进而得

f(bk2)f(bk1),即ak2ak1.

这就是说当n = k +1时，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对任意的nN

*

,an1an.



例20已知公比为q(0q1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a2n}各项的和为81.

5

(Ⅰ)求数列{an}的首项a1和公比q；

(Ⅱ)对给定的k(k1,2,3,,n),设T(k)是首项为ak，公差为2ak1的等差数列.求数列T(k)的前10项之和；

(Ⅲ)设bi为数列T(i)的第i项，求Sn，并求正整数m(m1)，Snb1b2bn，使得lim

Sn

nm

存在且不等于零.






(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前n项和的极限) [考查目的]本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.

a1

9a13,

[解答过程] (Ⅰ)依题意可知, 1q

22

a181q3.

2

51q

(2)2(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an3,所以数列T的的首项为t1a22,公差

n1

3

d2a213,S10102

(2)1

1093155,即数列T的前2

i1

10项之和为155.



2(Ⅲ) bi=aii12ai1=2i1ai1=32i1

i

3

i1，

2nn1，limSn

Sn4518n27nnm23

n

=lim

n

4518n272nnn1

.mmnmn32n

n

m

当m=2时，limS=－1，当m>2时，limS=0，所以m=2.

n

n

nm

2

n

n



【专题训练】 一.选择题

1.下列极限正确的个数是 ①lim

1nn

=0（α＞0）;②limqn=0;③lim

n

2n3n23

n

n

n

=－1 ; ④limC=C（C为

n

常数）

A.2

B.3会 C.4 D.都不正确

2.下列四个命题中正确的是

A.若liman2＝A2，则liman＝A B.若an＞0，liman＝A，则A＞0

n

n

n

C.若liman＝A，则liman2＝A2 D.若lim（an－b）＝0，则liman

n

n

n

n

＝limbn

n






3.

xx0

lim

f（x）=

xx0

lim

f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2x4.f（x）=

0

x1,下列结论正确的是( x1,

)

x1

A.lim

x1

f(x)=

x1

lim

f（x） B.lim

x1

f(x)=2，limf(x)不存在

x1

C.limf （x）=0,

x1

limf(x)

不存在 D.limf （x）≠limf （x）

x1

x1

5.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( )

y

y

O

x0x

O

x0

x

①

y

y

②

Ox0xO

x0x

③

④



A.① B.②③ C.①④ D.③④ 6.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上( )

A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确 7.已知Liman

n

bnc1

5,Lim2ncna3bnc

2

cn

，如果bc≠0，那么Liman

n

22

bnc

cnanb

=( )

A、 15 B、1 C、3 D、5

15

53

8.若r为实常数，则集合{x|xLim

n

|r|n1|r|

n

,rR}



A、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素 9.

若lim

x1

f(x1)x11,则lim

x1f(22x)x1

（C）






A．－1 B．1 C．－1 D．1

2

2

2x3,10. 已知fx

x1，下面结论正确的是（ ）

x1

2,x1

x1

A.fx在x1处连续 B.fx5 C.limfx2 D.limfx5 二.填空题

11.四个函数:①f（x）=1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）

x

=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:

①f（x）=1在［0,1］上连续;

x

②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;

③lim

π

x

2

2sin2x=4; cosx

xx1

(x0),

(x0).

④若f（x）=

则limf（x）=0.

x0

其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）

13.则a=______，b=______.

14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f’(x)>0，f(0)>0，则

Lim

n

2[f(3)]n3[f()]n4[f(3)]5[f()]

n

n

=_________. =__________.

15. 16.

n2n12n

limlim

n22n=____________. n

2n23

三.解答题

17.求下列函数极限:






4

①lim

x1

x1 ;x1

②lim

x8

1x3 ;3

x2

③lim

xa

xaxa

x2a2



(a0).

18. .数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当lim（b1+b2+…+bn）≤3,求c

n

的取值范围.

【参考答案】

一. B 1.提示:①③④正确.

2. C 提示:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝1，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．

n

3. C 4. D 5. A

6. C 提示：有定义不一定连续. 7. D 8. C 9.C 提示：10.D 提示: 故选D.

二. 11.②③④; 12.③; 13. a=215. 提示：原式=lim

n2n(n1)2

lim

x1

x111 lim.f(22x)x12limf(x1)2

x1x1

x1

limfxf(1)2135.

2b=4 ; 14. 3

5

12

2nn1n22

;

n

=lim

n

=0.

16. 提示：:原式=lim

n

2n322

n1

=.

12

三.17. 解:①lim

x1

4

4

11 x1x1

lim.lim4

4x14x1x12(x1)(x1)x1






②lim

③

x8

1x3(1x3)(1x3)(3x223x4) lim3x8x2(3x2)(3x223x4)(1x3)

232

(x8)3(x32x 4)x23x4limlimx8x8(x8)(1x3)1x3

2.

xa

lim

xaxa

xa

2

2



xa

1(xa)(xa)xa

limlim

xa

xaxaxa(xa)xaxa

xa

xa

lim(

xaxa

2

2



xa

2

2

)



lim

2a xa1

.

2axa(xa)a2

(3)当x时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当a00,b00,m和n为非负整数时,有

a0xma1xm1

xbxnbxn101

a0

b,0

am

0,bn

,

nm,nm, nm.

lim

18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立. ∴a

an2

anan1

n1

=a=c=c.又a1·a2=a2=c.

n1

n2

an

cn

∴a1,a3,a5,…,a2n

－

1,…是首项为1,公比为c的等比数

列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴b=a

n2

bn

an3anan1

n2

=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,

∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列, ∴lim （b1+b2+b3+…+bn）=

n

n

lim

（b1+b3+b5+…）+

n

lim

（b2+b4+…）

=1c+

1c2c≤3.

1c