第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛,初二组一试试题及解答

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第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛

初二组一试试题及解答

1．某次数学竞赛前60名获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分 ，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？

解。设调整后一等奖平均分为x，二等奖平均分为y，三等奖平均分为z.则

10x20y30z5(x3)15(y2)40(z1),即xy2z17.



又 (y2)(z1)7

yz6

xy5.

答。调整后一等奖比二等奖平均分数多5分

{x}x[x]。如果 [x]{x}是正整数。2．已知2003x2004, [x]表示不大于x的最大整数，求满足条

件所有实数x的和。

解。显然，[x]2003, 2003是质数，0{x}1 ， 设2003{x}p, 由题设，p 是整数。1p2003. p

,p1,2,3,,2002.2003



1232002

和S200320024011007.

2003x2003

(7464)(15464)(23464)(31464)(39464)

3．计算4.

(364)(11464)(19464)(27464)(35464)

解。a464a416a26416a[(a2)4][(a2)4]

2

2

2

(a28)216a2(a24a8)(a24a8)



(524)(924)(1324)(1724)(2124)(2524)(2924)(3324)(3724)(4124)

原式2

(14)(524)(924)(1324)(1724)(2124)(2524)(2924)(3324)(3724)41242337.14

4．凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？ 解。设AB=x, AC=y, 则CD=16-x-y.


11

xyy(16xy)22

(当BACACD90o时取等号）S四边形ABCDSABCSACD

11111

xy8y-xyy2(y216y)(y8)232.22222当y8时，面积最大值为32。



答。当BACACD90o,AC8,BD82时， 四边形ABCD的最大面积为32。

100个1



5。M111111,求同时满足下列两个条件的最小自然数N：

1）N是M的整数倍，且N10M; 2)N的各位数字之和为100。



解。设NsM,则sM的各位数字和是100，所以，sMMM(s1)是9的倍数。

100个



(M,9)1, s-1是9的倍数。令s19k, M(s1)9Mk9999k,100个100个98个1

sM9999k1111，当k10时，NsM101111101。





6． n37111519

2003，求n的末三位数。

5个乘数中恰有一个是5的倍数，所以，n是125的倍数。设n的解： n的任意连续

末三位数为xyz，则

n1000axyz1258axyz。

所以，xyz是125的倍数且为奇数，因此，xyz只可能是125，375，625，875中的一个。由乘法结合率

n3(711){[34(n1)][34n]}[(34499)(34500)]。

由于，[34(n1)][34n]16n(n1)24n85，所以，

由n3(8Q5250)24Q32512524Q3(241)12524P3,其中P,Q是正整数。此可见，n除以8的余数是3。在125，375，625，875四个数中只有875除以8的余数

是3。所以，n的末三位数是875。

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