标准差和标准偏差

2023-12-07 12:16:28   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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标准,偏差
标准差和标准偏差

1)首先给出计算公式 标准差:

(xx)

i

2

N

i

1

2

标准偏差:s

(xx)

N1

2)方差就是标准偏差的平方

这下大家就困惑了,这两个公式分别表示什么意义?他们分别在什么情况下用?这两个公式是怎么来的? 2)公式由来 标准差又叫均方差、标准方差,这个大家都不陌生,它是各数据偏离平均数的距离的平均数,是距离均差平方和平均后的方根,用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解,从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式,怎么来的呢?其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据,共10000个点,他们服从正太分布,很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下:

1n

样本均值:XXi

ni1

1n

样本方差:s(XiX)2

ni1

2n

这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为,我们想用采集到的这10000

样本估计数据的真实分布,想要求出其均值和方差2

对于均值,我们容易通过期望获得:

但是对于方差,我们知道

(X

i1

n

i

X)2

2



是服从卡分分布n21的(这一点请查阅卡分分布

的定义)。因此有下面的公式: 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质,试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。

2

这么一来,我们就能看出,X的无偏估计,而sn则不是2的无偏估计。但是我们

2

可以通过对样本方差进行重新构造,从而是sn就是2的无偏估计。我们定义:

这样我们重新来求解方差的期望:

这样一来,s2就是2的无偏估计,这也就是这个公式的由来。

3)这两个公式的应用


在实际中,公式(2)用的更多。因为当样本容量比较小的时候,公式(1)会过小的估计实际标准差;如果样本容量较大,公式(1)和公式(2)很接近。这时候公式(1)叫做渐近无偏估计,当然还是比不上公式(2)的无偏估计喽。

看了上面这段话,你可能还不知道该用哪个。其实是这样的:如果我们想求一批数据的标准差,那么自然就用公式(1)。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布,那么就用公式(2)。

4)在EXCEL中,方差是VAR(),标准偏差是STDEV(),函数里解释是基于样本,分母是除的N-1,其实就是公式(2)。还有个VARP()STDEVP(),基于样本总体,分母是N,也就是说你关注的就是这批数据。 Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()

总体标准偏差为=STDEVPA()

变异系数又称“标准差率”,是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。

标准差与平均数的比值称为离散系数或变异系数,记为C.V。变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比,它是一个相对变异指标。 变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。常用的是标准差系数,用CV(Coefficient of Variance)表示。

CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。 用公式表示为:CVσ/μ

作用:反映单位均值上的离散程度,常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。若两个总体的均值相等,则比较标准差系数与比较标准差是等价的。

一组数据的标准差与其相应的均值之比,是测度数据离散程度的相对指标,其作用主要是用于比较不同组别数据的离散程度。 其计算公式为v=S/(X的平均值)


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