角平分线定理

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角平分线定理

角平分线定理

角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的 点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射



■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的 距离相等！（即内心）。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相 等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两 邻边对应成比例，

如：在 AABC 中，BD 平分ZABC,则 AD： DC二AB： BC 提供四种证明方法：

已知，如图，AM为AABC的角平分线，求证AB/AOMB/MC

已知和证明1图

证明：方法1：(面积法)

SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM, SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM, A SA ABM： SA ACM 二 AB: AC

XAABM和AACM是等高三角形，面积的比等于底的比,


角平分线定理

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC二MB /MC

方法2 （相似形）

过C作CN II AB交AM的延长线于N 则厶 ABM^ ANCM ・•・ AB/NC 二 BM/CM 又可证明ZCAN=ZANC ・•・AC二CN

・・・ AB / AC 二 MB /MC



方法3 （相似形）

过M作MN II AB交AC于N 则厶 ABC^ANMC, ・•・ AB/AC二M\/NC, AN/NC二BM/MC 艾可证明ZCAM=ZAMN ・•・AN二MN

・•・ AB./AC 二 AN/NC ・•・ AB / AC 二 MB /MC

A

角平分线定理

证明3图

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