初中：二次函数的性质及应用

2024-01-13 06:52:29 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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初中：二次函数的性质及应用

一、概念

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，x、y分别表示自变量和因变量。二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其基本形态取决于系数a的正负性。

二、性质

二次函数有许多性质需要掌握：

1. 零点：二次函数的零点是指函数图像和x轴相交的点，即方程ax^2+bx+c=0的解。当b^2-4ac>0时，方程有两个不同的实根，当b^2-4ac=0时，方程只有一个实根，当b^2-4ac<0时，方程无实根，有两个共轭复根。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是指图像对称的轴线，过抛物线的顶点。对称轴是x=-b/2a。

3. 随a、b、c的系数取值而变化：当a>0时，二次函数的图像开口向上，当a<0时，二次函数的图像开口向下。当c>0时，抛物线在y轴上方，当c<0时，抛物线在y轴下方。当b>0时，顶点在y轴左侧，当b<0时，顶点在y轴右侧。

4. 函数值范围：当a>0时，函数最小值为0，所以函数值范围是[0，+\infty)，当a<0时，函数最大值为0，所以函数值范围是(-\infty，0]。

5. 最值点：二次函数的最值点是指函数图像上的极值点，即对称轴与函数图像交点。当a>0时，函数的最小值为0，此时最值点为顶点；当a<0时，函数的最大值为0，此时最值点为顶点。

三、例题

1. 求函数y=2x^2+4x+3的零点、对称轴及最小值。解：a=2，b=4，c=3。由求根公式可得，x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，代入a、b、c的值得到x=-1.5或-1。所以函数的零点是(-1.5,0)和(-1,0)。对称轴是x=\frac{-b}{2a}=-1，最小值为3。

2. 求函数y=-x^2+2x+3的零点、对称轴及最大值。解：a=-1，b=2，c=3。由求根公式可得，x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，代入a、b、c的值得到x=1+√2或1-√2。所以函数的零点是(1+√2,0)和(1-√2,0)。对称轴是x=\frac{-b}{2a}=1，最大值为3。

总结：

二次函数是初中阶段的重要内容之一，学生需要掌握二次函数的基本概念和基础性质，如零点、对称轴、最值点