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实数的概念及分类
1、实数的分类
实数
实数知识结构图
正有理数 零 负有理数 正无理数
-无限不循环小数 -有限小数和无限循环小数
负无理数
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“ 无限不循环”这一实质,归纳起来有四类: (1 )开方开不尽的数,如 -.7,32等;
n
(2)有特定意义的数,如圆周率
n或化简后含有 n的数,如—+8等;
3
(3 )有特定结构的数,如 0.1010010001…等; (4 )某些三角函数值,如 sin 60。等。
实数的倒数、相反数和绝对值
1、 相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零) 看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果 成立。
,从数轴上
a与b互为相反数,则有 a+b=0, a=-b,反之亦
2、 绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。 可看成它的相反数,若|a|=a,则a^0;若|a|=-a,则aW)。
(|a|%)。零的绝对值是它本身,也
3、 倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。1和-1的倒数等于本身。零没有倒数。
4、 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可) 实数与数轴的点是 --- 对应的。 平方根、算数平方根和立方根
。
1、算术平方根:一般地,如果一个正数 x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平 方根。特别地,0
的算术平方根是0。
表示方法:记作“ Ja ",读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根: 一般地,如果一个数 x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次 方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“
J3”,读作“正、负根号 a”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
3、开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意:
..a的双重非负性:
0
4、立方根
一般地,如果一个数 x的立方等于a,即x3=a那么这个数 表示方法:记作3 a
x就叫做a的立方根(或三次方根)
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:■/ a '、a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 算术平方根有关计算(二次根式)
1、 含有二次根号“「;被开方数a必须是非负数。 2、 性质:
(1) C.a)2 a(a 0)
「 a(a 0)
(2) VO2 a Y
I a(a 0)
(3) , ab .、a?、.. b(a 0, b 0)
( a ?、. b , ab(a 0, b 0))
(4) 、a a (a 0,b 0)
\ b Jb
( a , a(a 0,b 0))
v b \ b
3、 运算结果若含有“ .a ”形式,必须满足:
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
(1 )被开方数的因数是整数,因式是整式;
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