棱台体积公式推导

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棱台体积公式推导

用平行棱台底面的平面截棱锥截去一个小棱锥得一个棱台, 且棱台的高h=棱锥的高H-截去的小棱锥的高h1.

设棱台的下底面积,亦棱锥的底面积为s,棱台的上底面积,亦小棱锥的底面积为s1, 由棱锥截面定理有 s1/s=[h1/(h+h1)]^2 得h1/(h+h1)=√s1/√s h1=h*√s1/(√s-√s1)

棱台的体积=棱锥的体积-截去的小棱锥的体积 =(1/3)*s*H-(1/3)*s1*h1 =1/3[s*(h-h1)-s1*h1] =1/3[s*h+(s-s1)*h1]

=1/3{s*h+(s-s1)*[h*√s1/(√s-√s1)]} =(h/3){s+(s-s1)*√s1/(√s-√s1)} =(h/3){s+(√s+√s1)*√s1} =(h/3)(s+√s*√s1+s1).

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