2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)

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2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）



一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1，2，3，，集合2，，1. 已知全集，则为

2， 3， 2，3， D. 2， A. B. C.

2. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值

范围是

A. B. C. D.

3. 已知等差数列中，前5项和，，则

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 4. 已知平面向量

，若

与

垂直，则



B. 2 C. D. 1 5. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直

角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为

A.

A.



B.



C.



D.



6. 某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是

A. B. C. D.

7. 函数



的图象大致为

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A.



B.



C.



D.



8. 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为

A. 3

9. 设

数对

，

B. 5 C. 8 D. 11

，则满足条件的有序实

，若对任意实数x都有

的对数为

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是

一个阳马的三视图，则其外接球的半径为

A.



B. 3 C.



D. 4

11. 过抛物线上点交于不同与P的点A，B，A. 直线AB过定点 C. 直线BC斜率一定 12. 函数

则

的定义域为

作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别若，，则下列结论正确的是

B. 直线AB斜率一定 D. 直线AC斜率一定 ，

为其导函数．若

且

，

的解集为

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线的实轴长是______ ． 14. 已知函数是偶函数，则k的值为______ ．

15. 在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹

子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．



16. 我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，

______． 用表示它的前n项和，若已知，那么

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如

下频率分布直方图：

Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；

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Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．

18. 已知

中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，

．

Ⅰ求C； Ⅱ若

，

的面积为

，求

的值．

19. 如图在等腰直角三角形ABC中，

DC折叠得到三棱锥，如图BC，的中点． Ⅰ求证：平面DCG； Ⅱ求三棱锥的体积．

，

，其中，点D为AB中点，将

，点M，N，G分别为沿，

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20. 已知函数

求在点

求证：

在

．

处的切线方程；

上仅有2个零点．



21. 椭圆E的焦点为

直线，又知点

和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的

，直线BH记为，与交于点设，已知当时，



Ⅰ求椭圆E的方程；

Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线

P是曲线

的参数方程为

为参数，已知点

，点

上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

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极坐标系．

Ⅰ求点M的轨迹Ⅱ已知直线l：

23. 已知函数

Ⅰ若

的极坐标方程；

与曲线交于A，B两点，若

，求k的值

，．

的最小值为1，求实数a的值；

的解集包含

，求实数a的取值范围．

Ⅱ若关于x的不等式





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-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：【分析】

本题考查了集合的运算，属于基础题． 由题意，集合，从而求得【解答】 解：，

2，；

故选D． 2.答案：A

2，．



解析：解：复数

，解得

．

在复平面内对应的点在第二象限，

实数m的取值范围是． 故选：A．

由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题． 3.答案：B



解析：解：

，

则， 则公差，， 则． 故选：B．

根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题． 4.答案：C

，

，





解析：解：平面向量

，若，求得

与

垂直， ，

故选：C．

由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值． 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题． 5.答案：C



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解析：解：设大正方形的边长为4，则面积阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为另外一部分为梯形，上底为故概率

．

，下底为

，高

， ，面积，面积

，

，

故选：C．

先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求． 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题． 6.答案：B



解析：解：由题意知，该程序计算的是数列

，

前四项的和再加上1．



． 故选：B．

分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列

前四项的和再加上

利用裂项法求和

可求解．

本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构． 7.答案：D



解析：解：当

时，

，则

C， 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，

为增函数，排除A，

故选：D．

根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 8.答案：D



解析：解：作出可行域如图， 由所以动直线

目标函数取得最大值．

知，

， 的纵截距

取得最大值时，

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由得．

结合可行域可知当动直线经过点时， 目标函数取得最大值． 故选：D．

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线最大值即可．

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.答案：B

过点时，z



解析：解：对于任意实数x都有则函数的周期相同，若此时

，此时

若

，则方程等价为，则

综上满足条件的有序实数组

，则

为

， ，

，

， ，

，

，

，

共有2组， 故选：B．

根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．

本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 10.答案：C



解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体． 如图所示：



所以故选：C．

．

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首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．

本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 11.答案：B



解析：解：设直线的方程为：则的方程为的方程为设

，

，

，

，

，整理可得

，

，

可得设， ，

的斜率为k，则，的斜率分别为：

，，

联立直线与抛物线的方程：

所以，所以，代入直线中可得

，即

；

联立直线与抛物线的方程可得，整理可得



所以

，可得

，代入中可得

，即

；

联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，

所以，代入抛物线的方程可得，可得；

所以为定值；

故选：B．

B，由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，

C的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．

本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题． 12.答案：D



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解析：解：令由题意可得，当又由

，

，，

时，，函数单调递减，当，函数单调递减， ，时，， 可得

即

，

时，

结合函数图象可知，．

故选：D．

结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．

本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题． 13.答案：4



解析：解：双曲线

化为标准方程为





即双曲线

故答案为：4 双曲线

的实轴长是4

化为标准方程为，即可求得实轴长．

本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．

14.答案：

解析：解：



由函数

是偶函数，可知





即

，



对一切

恒成立，



故答案为

．

利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．

本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．

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15.答案：



解析：解：如图，



以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

0，，1，，0，，1，， 则设

，

1，

．

，，

，，

，，

．





当且仅当

． 令当

，即长度的最小值是

故答案为：

．

，则时，．

． ．

时等号成立

以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

，

，

，

，可得

，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式

求最值，属难题．

16.答案：



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解析：解：

， ， ，

，，，



， ，

以上累加得：

，

，

故答案为：．

根据条件，利用累加法得到

本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题． 17.答案：解：Ⅰ由题意得：

，

解得， 设中位数是，则解得，中位数是125． Ⅱ由， 估计一天行走步数不大于130百步的人数为98． Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人， 在区间中有7人， 按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，

和中各抽取1人，

再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数， 这两人均来自区间包含的基本事件个数， 这两人均来自区间

的概率

．

，

，从而，．

，



解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．

Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数． Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率． 本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.答案：解：Ⅰ

，

，

，

，

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，

而C为三角形的内角，

；

Ⅱ

的面积为

，及

，得

，

化简可得， 又，由余弦定理，得化简得，

，

，





解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值， Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．

本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题． 19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，

，

在三棱锥中，，

，

是的中点，，

，

，平面DGC，

点M，N，分别为，BC的中点．，

平面DCG．

Ⅱ解：由图知，，，

平面，

又，是等边三角形，

，

，

，，

三棱锥

的体积：

． ，



解析：Ⅰ推导出DGC，推导出Ⅱ由，边三角形，三棱锥

，

，由此能证明

，

的体积

，从而

平面DCG．

，得

，平面

，进而，推导出

平面是等

，由此能求出结果．

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本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

切点为． 20.答案：解：

． ， 在点处的切线方程为：，化为：．

证明：．

时，，， 函数在上单调递增，而， 函数在上只有一个零点0．

时，

函数而

存在唯一实数且函数又函数综上可得：

在

在在

，

上存在唯一零点，而在上仅有2个零点．

在

，

，使得上单调递减，

．

上单调递增，

，

，

上单调递增．

，上无零点．

．



解析：

切点为

分类讨论：

上只有一个零点

可得，利用点斜式即可得出切线方程．

时，利用导数研究其单调性可得，函数在时，

可得函数

在

上单

调递增，进而得出零点的个数．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为

由已知当

时，不妨设，

由椭圆定义得，从而故此时点A在y轴上，不妨设所以

，

；

，则，

，其中

， ，

，从而由已知条件可得

，

，代入椭圆方程，解得，

故所求椭圆方程为：

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Ⅱ证明：如图所示：

，

设点，

设直线AB的方程为：

，，

，

，代入椭圆

，

中，得：

，

由题设知，直线BH斜率

，而直线方程为：

，代入

，

，得

，

直线BH的方程为：

故点C的横坐标是定值3．



解析：

设椭圆方程为

，其中

，利用椭圆的定义和已知条件可得

，

代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；

设点，，设直线AB的方程为：理可得

，进而得到直线BH斜率

，与椭圆方程联立，利用韦达定

，再得到直线BH的方程与直线方程联立即

可得到点C的横坐标是定值3．

本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．

22.答案：解：Ⅰ曲线

由于点M满足所以

转换为直角坐标方程为

的参数方程为， 为参数，

．

为参数，设，

转换为极坐标方程为 Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为设，，由于， 所以，即，

，

第16页，共17页


由于，

所以，解得．

所以解得

．

，



解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

，． 23.答案：解：函数





解得

，

或

；

，

，可得：

，

不等式即：

且

的解集包含，

．

， ．

，

．

时，不等式

即：

实数a的取值范围：



解析：Ⅰ化简实数a的值； Ⅱ化简不等式

的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解

的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值

范围．

本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．



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