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四、归纳法与演绎法应用专题
通过本专题训练，着重掌握分析复杂物理过程的一种重要方法——归纳法和演绎法． 从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般性结论；这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法．与归纳法的思维程序相反，从某个具有普遍意义的一般性原理出发，也可以推论出某一个别的物理现象或特殊的物理过程；这种从一般到个别，从普遍到特殊的推理方式叫做演绎法．
演绎依据的一般性原理是由特殊现象中归纳出来的，而归纳又必须以一般性原理为指导，才能找出特殊现象的本质；所以，归纳离不开演绎，演绎也离不开归纳，虽然归纳和演绎是两种不同的思维方法，但是它们之间是相互渗透、相互依赖、相互联系、相互补充的．当我们解决物理问题时，根据物理概念或规律分析题目描述的物理现象，使用的是演绎法；根据题目描述的物理现象推导出某些一般性的结论，使用的是归纳法．归纳法和演绎法的交叉应用，是我们解决问题的常见思维方式．
【例题1】A、B两点相距s，将s平分为n等价．今让一物体(可视为质点)从A点由静止开始向B运动，物体在每一等分段均做匀加速运动，且第一段加速度为a，但每过一个等价点加速度都增加，试求该物体到达B点时速度．
【分析与解析】由于物体在每个等分段上都做匀加速运动，所以每段运动的初、末速度应满足同样的关系：
2
v12v0＝2a·
a
n
sn
2
v12＝2a(1＋)· v2
1
nsnsn
2
v32v2＝2a(1＋)·
2
n
……
22vn vn1＝2a(1＋
n1s
)· nn
1n
2n
将上述各式两端分别相加，即得
vn2＝2a·[1＋(1＋)＋(1＋)＋……(1＋ ＝2a·[n＋(＋＋……＋ ∴ vn＝(3)as．
总结与提高 该题所用关系即为匀变速直线运动的速度、位移关系，每一等分段上的方程都不难给出．但若要按常规的解法，逐一地求出v1、v2、v3……，从中找出vn的通式，则是较困难的．上述解法恰是利用各方程左侧的特点，相加后将中间诸项相消，而直接求得了最终速度vn．
【例题2】一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度
1
n
snn1
)] n
sn1n2nn11
)]＝(3-)as
nn
减小到碰前的7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．
【分析与解答】每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等．
小球原来距桌面高度为4.9m，用h0表示，下落至桌面时的速度v0应为： v0＝2gh029.84.9＝9.8(m/s)
下落时间为：t0＝2h0/g24.9/9.8＝1(s)． 首先用演绎法：
小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速率：v1＝v0×7/9(m/s)． 第一次碰撞后上升、回落需用时间：2t1＝2v1/g＝(2×v0/g)×7/9＝2×7/9(s)． 小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率： v2＝v1×7/9＝(v0×7/9)×7/9＝v0×(7/9)2(m/s)．
第二次碰撞后上升、回落需用时间：2t2＝2v2/g＝2×(7/9)2． 再用归纳法：
依此类推可得：小球第n次和桌面碰撞后上升、回落需用时间2tn＝2×(7/9)n(s)． ∴小球从开始下落到经n次碰撞后静止所用总时间为：
T＝t0＋2t1＋2t2＋…＋2tn＝1＋2×7/9＋2×(7/9)2＋…＋2×(7/9)n＝1＋2×[7/9＋(7/9)2＋…＋(7/9)n]
括号内为等比级数求和，首项a1＝7/9，公比q＝7/9 ∵|q|＜1，
∴无穷递减等比级数的和为： ∴T＝1＋2×7/2＝8(s)．
总结与提高 此题中小球与桌面碰撞的次数是无数次，试图求出每一次的时间将是无止境的．关键利用演绎法和归纳法找出小球第n次碰撞后在空中运动的时间tn的表达式，看看tn的表达式有何规律(此题中tn符合等比数列规律)．然后利用有关数学知识求得最后结果．
所以在遇到问题时，要多分析、比较、归纳，解决物理问题的能力即会在潜移默化
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/9d323664182e453610661ed9ad51f01dc281570a.html
2023-01-31
