正、余弦定理的证明----方法种种

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正、余弦定理的证明----方法种种



在解三角形的有关知识中，正、余弦定理占有十分重要的地位，是揭示任意三角形边角之间关系的两个重要定理，它们相辅相成，是一个不可分割的整体.要想灵活的应用正、余弦定理解决有关三角形问题，必须熟练掌握这两个定理的证明，本文归纳了正、余弦定理的几种常见证明方法，希望能对同学们的正、余弦定理的学习有所帮助和启示． 一、正弦定理的证明

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

. sinAsinBsinC

教材中给出了用三角函数定义的证明，除此以外还可以用向量法和几何法来证明正弦定理. 证明：方法一（向量法）：如图（1），△ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于AB，则j与AB的夹角为



，j与BC的夹角为B，j与CA的夹角为22



2

A，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，

∵ABBCCA0，∴jABjBCjCAj00， 即jABcos





jBCcosBjCAcosA0. 222

ab

. sinAsinB

bcabc

同理可得：,即. sinBsinCsinAsinBsinC

∴asinBbsinA，即

当△ABC为钝角三角形（如图（2））或为直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明.

（注意：在此证明过程中，要注意两向量所成的角与三角形内角的关系.） 方法二（几何法）：如图所示，设O为△ABC外接圆的圆心，连BO并延长交

''''

⊙O于A,连AC，则AA或AA，∴sinAsinA

'

BCa

，'

AB2R

abc

2R,同理可证2R,2R. sinAsinBsinC

abc

2R. 故有

sinAsinBsinC

即

方法三（解析法）：如图，在ABC中，三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.以A为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则C点坐标是（b,0）.

由三角函数的定义得B点坐标是ccosA,csiaA,所以

CBccosAb,csinA.将CB平移到起点为原点A，则ADCB.因为ADCBa,DACBCAC,

1


根据三角函数的定义知D点坐标是acosC,asinC，即D坐标是acosC,asinC.所以,所以acosC,asiC所nsbc,s.iAn以ADacosC,asinC.又因为ADCBccoA



asinCcsinA,即

acababc

.同理可证，所以. sinAsinCsinAsinBsinAsinBsinC

二、余弦定理的证明

余弦定理 三角形的任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 abc2bccosA，bac2accosB，cab2abcosC.

教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法和三角法来证明余弦定理. 证明：方法一（解析法）：如图，以A点为原点，以△ABC的边AB所在直线为为x轴，以过点A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系， 则A（0，0），C（bcosA,bsinA），B（c,0）,

2

由两点间的距离公式得BCbcosAcbsinA0，

2

2

222222222

a2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA.

同理可证b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC. 方法二（几何法）：如图，当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CDbsinA,BDABADcbcosA. 在Rt△BCD中，由勾股定理得BCCDBD,

222222

即absinAcbcosA.整理得abc2bccosA.

2

222

同理可证：bac2accosB,cab2abcosC.

222222

CDbsinA,BDADABbcosAc. 当△ABC为钝角三角形时，如图，

在Rt△BCD中，由勾股定理得BCCDBD,

222222

即absinAbcosAc.整理得abc2bccosA.

2

222

同理可证：bac2accosB,cab2abcosC.

222222

2

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