n人博弈的均衡点

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N人博弈的均衡点

约翰·F·纳什㈠



可以这样定义n人博弈（n-person game），n个参与人（player），每个参与人的纯策略（pure strategy）集为有限集，对于每个纯策略的n元组合，n个参与人具有与之对应的明确的支付集，纯策略的n元组合中，一个策略对应一个参与人。混合策略（mixed strategy）是纯策略上的概率分布，支付函数（pay-off function）是参与人的期望，因此在概率上是多元线性形式的，表示各个参与人采用各个纯策略的概率。

任意的策略n元组合（n-tuple of strategies），一个策略对应一个参与人，可以看作是由参与人的n个策略空间相乘得到的乘积空间（product space）中的一点。一个这样的n元组合优超（counter）另一个，如果优超的n元组合中的每个参与人的策略，使得该参与人产生最高可得期望。这是因为给定的优超n元组合中任一参与人都会对抗其他参与人的n-1个策略。自我优超(self-countering)的策略n元组合称为均衡点。

每个n元组合与其优超集的对应，都给出了乘积空间到其本身的一个一对多的映射（a one-to-many mapping）。从优超的定义，我们看到一点的优超点的集合是凸的（convex）。利用支付函数的连续性，我们得到该映射的图是闭的。闭性等价于：如果P1，P2，···和Q1，Q2，···，Qn，···是乘积空间中的点列，并且Qn→Q,Pn→P,Qn优超Pn，那么Q优超P。

因为图是闭的，并且每个点在映射下的对应是凸的，由角谷不动点定理（Kakutani`s

㈡

theorem）我们得到该映射存在不动点（即该点包含在它自已的对应中）。因此，存在均衡点。

㈢

在二人零和博弈中，“主要定理”和均衡点的存在性是等价的。在这种情况下，任意两个均衡点对每个参与人导致相同的期望，但是一般情况下并不成立。

㈠

作者感谢戴维·盖尔（David Gale）博士建议利用角谷不动点定理简化证明，以及A.E.C.的资金资助。

㈡

Kakutani,S.,Duke Math.J.,8,457-459(1941). ㈢

Von Neumann,j.,and Morgenstern,O.,The Theory of Games and Economic Behaviour,Chap.3,Princeton,1947.

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