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垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线， 如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂 直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
1, 三垂线定理描述的是 PO（斜线）,A0（射 影）,a（直线）之间的垂直关系. 2, a与P0可以相交，也可以异面. 3, 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面（基准面）的垂线. 至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明 二射，三证.即
第一,找平面（基准面）及平面垂线
第二，找射影线，这时a,b便成平面上的一条直线与 一条斜线.
第三，证明射影线与直线 a垂直，从而得出a与b垂直. 注：
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找”基准面"这个参照系 用向量证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面a的垂线，斜线，0A是PA在a内的射影，b属于a,且b 垂直0A，求证：b垂直PA
证明：因为P0垂直a,所以P0垂直b,又因为 0A垂直b向量PA=（向量P0+向量 0A） 所以向量PA乘以b=（向量P0+向量0A）乘以b=（向量P0乘以b）力口 （向量0A 乘以b ） =0,
所以PA垂直b。
2）已知：P0, PA分别是平面a的垂线，斜线，0A是PA在a内的射影，b属于a,且 b垂直PA,求证：b垂直0A
证明：因为P0垂直a,所以P0垂直b,又因为PA垂直b,向量0A=（向量PA-向量 P0） 所以向量0A乘以b==（向量PA-向量P0）乘以b=（向量PA乘以b ）减（向量P0 乘以b ） =0,
所以0A垂直bo 求交线0A于平面0BC所成的角。
a丄b的一个程序：一垂，
2。已知三个平面 0AB , 0BC, 0AC相交于一点 0，角 A0B=角 B0C=角 C0A=6O 度, 向量0A=（向量 0B+向量AB） , 0是内心，又因为 AB=BC=CA ,所以0A于平面 0BC
所成的角是30 度o
.面角的求法 有六种：
1•定义法
2•垂面法 3•射影定理
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4•三垂线定理 5•向量法 6•转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上， 取恰当的点，经常是端点和中点。 过这个 点分
别在两平面做相交线的垂线， 然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。 有时也经常做两 条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosQ ,作出二面角的平面角直接求出。 也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量
直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角
二面角的通常求法：
(1 )由定义作出二面角的平面角；
(2)作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平 面角； (3 )利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角； (4)空间坐标求二面角的大小。
其中，(1 )、(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余 弦定理解
三角形。
求二面角大小的基本步骤 (1)作出二面角的平面角：
A :利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角； B :利用面的垂线(三垂线定理或其逆定理)作平面角； C:利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角； D :利用无棱二面角的两条平行线作平面角。 (2) 证明该角为平面角； (3) 归纳到三角形求角。 另外，也可以利用空间向量求出。
运用这一方法的关键
是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
n1,n2的坐标求出来。然后根据
n1 • n2=丨n1丨丨n2 | cos a , 0 = a为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都 是垂
0 = n -a
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/9bd806f9b968a98271fe910ef12d2af90342a849.html
2023-01-24
