人口迁移的动态分析

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人口迁移的动态分析

问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?

解 设开始时,令乡村人口为y0,城镇人口为z0,一年以后有

乡村人口

9751

y0z0y1, 10001002599

y0z0z1, 城镇人口

1000100

或写成矩阵形式

1975

y11000100y0

z. z259910

1000100

两年以后,有

11975975

y21000100y11000100y0

z25z.. z259999210

10001001000100

十年以后,有

2

1975

y101000100y0

z. z2599100

1000100

事实上,它给出了一个差分方程:uk1Auk.我们现在来解这个差分方程.首先

10

1975

A1000100,

25991000100

k年之后的分布(将A对角化):


193k2yyk1k0A5200zz

k0110

这就是我们所要的解,

5

075172

7y0. 5z07

而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态

27y

(yz)00. z5

7

总人口仍是y0z0,与开始时一样,但在此极限中人口的

52

在城镇,而在乡村.无论77

初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A的属于特征值1的特征向量.

上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地y0和z0也是非负的,从而y1和

z1,y2和z2等等也是这样.

本文来源：https://www.wddqxz.cn/9b79567f4835eefdc8d376eeaeaad1f347931152.html