等比数列

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等 比 数 列

一、基础知识 1．定义与定义式

从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.

an1

q(q为不等于零的常数) an

n1nm

2．通项公式ana1q,推广形式:anamq,变式qnm

an

(nm,m,nN) am

na1(q1)n

3．前n项和Sna1(1q)a1anq

(q0且q1)

1q1q

注:应用前n项和公式时,一定要区分q1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.

4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且bac (1)若mnpq,m,n,p,qN则amanapaq (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若



5．在等比数列an中有如下性质:

an1

q(nN)数列an为等比数列 an

2

(2)等比中项法:若an1anan2(nN且anan1an20)数列an为等比数列 n

(3)通项法:若ancq(c,q均是不为0的常数，nN)数列an为等比数列 n

为等比数列 (4)前n项和法:若SnAqA(A,q为常数，且q0,q1)数列an

7．解决等比数列有关问题的常见思维方法

(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对q1和q1讨论 ②当

n1

(an1ana1q(q1))

a10,q1或a10,0q1时,等比数列an为递增数列

a10,q1或a10,0q1时,等比数列an为递减数列



二、范例剖析

1．关于基本公式的运用

例1． 已知等比数列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an。 详见优化设计P41典例剖析例1，解答略。

变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少


例2．已知数列an为等差数列，公差d≠0，an的部分项组成下列数列：

ak，ak

1

，…，

2

ak

，恰为等比数列，其中k1=1, k2=5, k3=17，求k1+k2+k3+…+kn。

n

详见优化设计P41典例剖析例2，解答略。

2.关于等比数列的证明

n

例3.数列an,bn的通项公式分别是an2,bn3n2,它们公共项由小到大排列的

数列是cn,①写出cn的前5项 ②证明cn是等比数列

思维分析:容易证明cn是等比数列,由定义式,只需找出cn中任意相邻两项关系即可. 解(1) cn的前5项为:8、32、128、512、2048

（2）设ambpcn,cn2m3p2,而am122m2(3p2)3(2p1)1

am1不在bn中,又am242m4(3p2)3(4p2)2,am2在bn中

am2是cn中的项即cn1项,cn14cn,故cn是等比数列



3.数学应用题----数列建模

例4.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米

思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出an，再结合数列相关性质解题。 解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了

100

100米，因此球第十次着地时共经过的路程为 2

1

100[1()9]

100100100210010028100300米

1222

122

练习 变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回总钱数为多少 解:a(1r)

18

a

a(1r)17a(1r)[(1r)19(1r)]

r



4．等比数列综合题

例5 设各项均为正数的数列an和bn满足an，bn，an1成等比数列，lgbn，lgan+1，

555

lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn。 详见优化设计P 42典例剖析例3，解答略。

备用题：（01年全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年

1

5

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