2021年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

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2021年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

2021年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里）

5x2?2y2?z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ). 2x?3y2?10z2(A) ?119 (B) ? (C) ?15 (D) ?13 222．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720° C D E B A G A F D C O B （第3题图） （第4题图）

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）. (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知x?1?3，那么

7．若实数x，y，z满足x?111?2?? . x?2x?4x?21171?4，y??1，z??，则xyz的值为 . zx3y 8．观察下列图形：




① ② ③ ④ 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .

9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45o，∠A=60o CD=4m，BC=46?22m，则电线杆AB的长为_______m. B C D A ?? 2（第9题图）

10．已知二次函数y?ax?bx?c（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论. 解：

B C E P (第11题图) O D A

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 解：

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

14 13 6 C A (第12题图) 15 11 D 10 17 E 12 O 5 18 F 7 B G 9 H CD2?BD2AD?BD?（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.

BC2AB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

B D (第13 B题图) A C 14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a?b?c的最小值.


注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA?PB?PC的值. 解：

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2021个正整数1，2，…，2021，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c， d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.

6 1 2 222 A O P B C (第13A题图) 5 4 3

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