不等式的基本性质及其证明

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辅导讲义

讲义编号 7

学员姓名：刘晨阳 辅导科目：数学 课 题

教学目标



重点、难点



不等式的基本性质及其证明

理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。渗透分类讨论的数学思想

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

要点精讲

判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即

ab的充分必要条件是a-b0； ab的充分必要条件是a-b0； ab的充分必要条件是a-b0。 性质1 如果ab，bc，那么ac。 性质2 如果ab，那么a+cb+c。

性质3 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc。 性质4 如果ab，cd，那么a+cb+d。 性质5 如果ab0，cd0，那么acbd。 性质6 如果ab0，那么0

11

。 ab

性质7 如果ab0，那么anbn（nN*） 性质8 如果ab0，那么nanb（nN*，n1）。


习题：

1、若a>1,b>1,则1+ab与a+b的大小关系是 。 2、若x>1.则x1

x

） xx1（填“>”或“<”

3、若0且ab，则ab,a2b2,2ab，2ab中最大的一个是 。

4、甲离学校10公里，乙离学校a公里，其中乙离甲3公里，则a的取值范围是 。 5、若角，满足



2





2

，则2的取值范围是 。

6、甲乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步

行速度，跑步速度相同，则 （ ）

A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 7、已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)k2成立，则f(k1)(k1)2成立，下列命题成立的是 （ ）

A．若f(3)9成立，则对于任意k1，均有f(k)k2成立 B．若f(4)16成立，则对于任意k4，均有f(k)k2成立 C．若f(7)49成立，则对于任意k7，均有f(k)k2成立 D．若f(4)25成立，则对于任意k4，均有f(k)k2成立

8、某学生试图通过先求x与y的平均值，再将求得数与z的平均值记为B，x,y,z这三个数的平均值记为A，当x时，试比较A与B的大小。

9、设f(x)1x2，比较f(x1)f(x2)与x1x2的大小。

10、是否存在常数c，使得不等式论。

xyxy

c对任意正实数x,y恒成立？证明你的结

2xyx2yx2y2xy

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