三角形的重心定理及其证明

2022-04-20 05:30:13   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时,常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理?下面给出三种证明方法,你阅读后想一想,哪一种证明方法最好. 已知:(如图)设ABC中,LMN别是BCCAAB的中点.

求证:ALBMCN相交于一点G,且 AGGL= BGGM= CGGN=21.

B

N

LDG

1

A

M

C

证明1(平面几何法)(如图1假设中

线ALBM交于G而且假设CG的连线与AB边交于N,首先来证明NAB的中点.

现在,延长GL,并在延长线上取点D,使GL=LD 因为四边形BDCG的对角线互相平分,所以BDCG是平行四边形.从而,BGDC,即GMDC.MAC的中点,因此,GAD的中点.

另一方面,GCBD,即NGBD.GAD的中点,因此NAB的中点.

另外,GAD的中点,因此AGGL=21.同理可证: BGGM=21 CGGN=21.

这个点G被叫做ABC的重心.

证明2(向量法)(如图2)在ABC中,设AB边上的中



1


线为CNAC边上的中线为BM,其交点为G,边BC的中点为L,连接AGGL,因BGM三点共线,MAC的中点,所以向量BGBM所以,存在实数1 ,使得

B

N

A

M

C

2

GL

BG1BM AGAB1(AMAB)

所以,AG1AM(11)AB =11AC(11)AB

2

同理,因为CGN三点共线,NAB的中点. 以存在实数2,使得 AG2AN(12)AC = 12AB(12)AC

2所以 11AC(11)AB = 12AB(12)AC

22又因为 AB AC 不共线,所以 所以 12

1121

2

11

1

22



2 ,所以 11

AGABAC .

333

LBCGLGAACCL

121111=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC)

332332

11

=ABAC,即AG2GL所以AGL三点共线.66

ALBMCN相交于一点G,且AGGL= BGGM= CGGN=21



2


证明3(向量法)(如图3)在ABC中,

1

BC的中点L对应于OL(OBOC)

2



N

B

A

G(G')L

M M

C

中线AL上的任意一点G,有

OGOA(1)OL



3

OA1OB1

OC.同理,ABo

22

的中线

CN上的任意点G′,OGOC

12OA1

2

OB 求中线ALCN的交点,就是要找一个和一个,使

OGOG.因此,我们令

1122112

2

.解之1

.所以OGOG1OA1OB13333

OC.由对称性可知,第三条中线也经过点G . ALCNBM相交于一点G且易证AGGL= BGGM= CGGN=21.

3


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