高三数学复习-随机变量&二项分布(含答案)

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高中复习-随机变量分布列&二项分布

【知识点】

知识点一：离散型随机变量的相关概念；

随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示

离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若是随机变量，ab，其中a、b是常数，则也是随机变量

连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量可能取的值为x1、x2xi取每一个值xii1,2,的概率为P(xi)pi，则称表

 P

x1





x2



… …

xi

… …

p1p2



pi

为随机变量的概率分布，简称的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；

任何随机事件发生的概率都满足:0P(A)1，并且不可能事件的概率为0，必

然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

(1) pi0，i1,2,；(2) P1P2L1

特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的

概率的和即P(xk)P(xk)P(xk1)L

知识点二：两点分布：

0 1 X

若随机变量X的分布列: 则称X的分布列为两点分布列.

P 1P P



特别提醒：(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)

为成功率.

(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布

(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是

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否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.



知识点三：超几何分布：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

knkCMCNM

P(Xk),k0,1,m,mmin{M,n},其中,nN,MN.称超几何分n

CN

布列.



为超几何分布列，

知识点四：离散型随机变量的二项分布；

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

k

Pn(k)Cnpkqnk

X P

0 1

••• •••

m

mnm

CMCNM

nCN



0n0CMCNM

••• n

CN



，（k0,1,2,3,…， q1p）

于是得到随机变量的概率分布如下：



0 1

11n1Cnpq

… …

k

kknk

Cnpq

… …

n

nn0

Cnpq

00n

P Cnpq



kknk

由于Cnpq恰好是二项式展开式：

00n11n1kknknn0

(pq)nCnpqCnpqLCnpqLCnpq中的各项的值，所以称

这样的随机变量服从二项分布，记作:B(n,p)，其中n，p为参数，并记

kknkCnpqb(k,n,p)L

知识点五：离散型随机变量的几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量．“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak，p(Ak)p，p(Ak)q, (q1p)，那么

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P(k)P(A1A2A3LAk1Ak)P(A1)P(A2)P(A3)LP(Ak1)P(Ak)qk1p

(k0,1,2,…， q1p)

于是得到随机变量的概率分布如下：

 1 P

p

2 pq

3

…

k

qk1p

… …

q2p …

称这样的随机变量服从几何分布， 记作g(k,p)q

k1

p,其中k0,1,2,L,q1p.

知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；

(1) 要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；

(2) 分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是

放回抽样还是不放回抽样；

(3) 列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：

(1) 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有

划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.

(2) 射击问题：若是一人连续射击，且限制在n次射击中发生k次，则往往与二项分布

联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.

(3) 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审

题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望

数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为



P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… …

则称Ex1p1x2p2…xnpn… 为的数学期望，简称期望

数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平。

平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…

pn，则有p1p2…pn

望又称为平均数、均值。

1

n

，E(x1x2…xn)1n，所以的数学期

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期望的一个性质：若ab，则E(ab)aEb 知识点七：方差；

方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且

取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么,

D＝(x1E)2p1＋(x2E)2p2＋…＋(xnE)2pn＋…称为随机

变量 的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望．

标准差：D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作 方差的性质：①D(ab)aD；②DE(E) . 方差的意义：

(1)随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

(2)随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 二项分布的期望与方差：若:Bn,p，则Enp ，Dnp1p 几何分布的期望和方差： 若gk,pq

k1

222

p，其中k0,1,2，…， q1p．则E

11p ，D. 2pp

知识点八：正态分布；

(1)频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或

数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示. (2)总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.

(3)总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

频率/组距它反映了总体在各个范围内总体密度曲线

取值的概率．根据这条曲线，可

求出总体在区间a,b内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线xa、xb所围

单位

O



(4)总体分布密度密度曲线函数yf(x)的两条基本性质：

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ab


①f(x)≥0 (xR)；②由曲线yf(x)与x轴围成面积为1. (5)解决总体分布估计问题的一般程序如下：

①先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）； ②分别计算各组的频数及频率（频率

频数

）； 总数

③画出频率分布直方图，并作出相应的估计.

(6)条形图是用其高度表示取各值的频率；直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率；累积频率分布图是一条折线，利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率. (7)正态分布密度函数：简称正态曲线

函数,(x)

，

1

e2



(x)222

,x(,),(式中的实数、(0)是参数)

随机变量X满足：P(aXb),(x)dx,则称X的分布为正态分布

a

b

其中是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；为正态分布的均值；

是正态分布的标准差.正态分布一般记为N(,2)。即若:N,2，则

E，D2

(8)正态分布N(,)是由均值和标准差唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 ，

2

--------------------------------------------------------------------------------------

1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p(1－p)________.

k

1－k

(k＝0.1,0＜p＜1)，则E(X)＝

2．设随机变量~B(2, p)，随机变量~B(3, p)，若P(1)

5

，则P(1) . 9

3．已知随机变量X服从二项分布，X～B4,，则P(X＝1)的值为________．

4．有一批数量很大的环形灯管，其次品率为20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次．求抽查次数ξ的分布列．

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12


5．在一次面试中，每位考生从4道题a、b、c、d中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响．

(1)若甲考生抽到a、b题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率； (2)设某两位考生抽到的题中恰好有X道相同，求随机变量X的概率分布．

6．一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布，并求P

51

x.

22





7．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 首次出现故 障时间x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润 (万元)

甲 0<x≤1 2 1

1<x≤2 3 2

乙

x>2

45 3

0<x≤2 5 1.8

x>2

45 2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．

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8．为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为

2. 3

(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

9．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客若一次付款，其利润为1万元；若分2期付款或3期付款，其利润为1.5万元；若分4期付款或5期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆该品牌汽车的利润. 付款方式 频数

一次 40

分2期 20

分3期 a

分4期 10

分5期 b

（1）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率PA；

（2）求的分布列及其数学期望E.



10．一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E()．

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11．甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局，现决定各派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5. (1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率； (2)求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．

12．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是

1. 3

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差．

13．有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号。从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球。求： （1）取出的3个小球都是0号的概率； （2）取出的3个小球号码之积是4的概率；

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参考答案

1．1－p 2．

191

3．

27 4

1 0.2

2 0.16

3 0.128

4 0.1024

5 0.4096

4．ξ的概率分布列为：

ξ P

5．（1）

2

3

（2）X的概率分布为 X 0 1 2 P

1/6

2/3

1/6

6．

27110

7．（1）

1

10

（2）X1的分布列为 X1 1

2

3

P

1

3925

50 10

X2的分布列为

X2 1.8

2.9

P

1

910 10

（3）甲品牌轿车 8．（1）

1627（2）10727

9．（1）P(A)0,896；（2）的分布列为：



1 1.5 2 P 0.4

0.4

0.2

E1.4.

10．（1）

79；（2）3211．（1）3（2）3612．(1) 4 (2) 16256

27113．（1）P(A)CC2

141

C12

6C721

（2）

X 0 2 4 8

P

37 244263 16342



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16072943 (3)2


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