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实数知识结构图
实数的概念及分类
1、实数的分类 正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一实质,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如7,32等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
π
+8等; 3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o等。 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。1和-1的倒数等于本身。零没有倒数。 4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 实数与数轴的点是一一对应的。 平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“a”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“
a”,读作“正、负根号a”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 3、开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意:a的双重非负性:
a0
a0
4、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。 表示方法:记作3a
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:3a3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“2、性质:
2
(1)(a)a(a0)
”;被开方数a必须是非负数。
a(a0)
(2)aa
a(a0)
(3)ab
2
a•b(a0,b0) (a•bab(a0,b0))
(4)
aa
(a0,b0) (bb
ab
a
(a0,b0)) b
3、运算结果若含有“a”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
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