数列的通项的求法2

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数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列1111

3,5,7,9,试写出其一个通项公式：__________ 481632

1

（答：an2n1n1）

2

S,(n1)an1⑵已知Sn（即a1a2anf(n)）求an，用作差法：。SnSn1,(n2)



如

①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an

（答：an

111

②数列{an}满足a12a2nan2n5，求an

222



3,n1

）；

2n,n2

（答：an

14,n1

）

2n1,n2

f(1),(n1)f(n)

⑶已知a1。如数列a2anf(n)求an，用作商法：an

,(n2)

f(n1)

{an}中，a11,对所有的n2都有a1a2a3ann2，则a3a5______

61

（答：）

16

⑷若求用累加法：anan1anf(n)

an(anan1)(an1an2)(a2a1)

1

(n2)，则a1(n2)。如已知数列{an}满足a11，anan1

n1n

an=________

（答：ann121）

aaaa

⑸已知n1f(n)求an，用累乘法：annn12a1(n2)。如已

anan1an2a1

知数列{an}中，a12，前n项和Sn，若Snn2an，求an

4

）

n(n1)

⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形

（答：an

如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。如①已知a11,an3an12，求an（答：；②已知a11,an3an12n，求an（答：an5；（2）an23n11）3n12n1）

an1

形如an的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知

akn1b

1an1

a11,an，求an（答：an）；②已知数列满足a1=1，

3n23an11


an1ananan1，求an（答：an

1

） n2

注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，注意到此等式成立的条件

了（n2，当n1时，a1S1）；（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关

5

系式，然后再求解。如数列{an}满足a14,SnSn1an1，求an（答：

3

4,n1an）

34n1,n2



数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用

1nn(，1公式：123n12)22n21n(n1)(2n1)，26

n(n1)2

132333n3[].如

2

222

（1）等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12a2＝_____ a3an

4n1

（答：）；

3

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：Sn1357(1)n(2n1)

（答：(1)nn）

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. 如

111x2

f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()＝①已知f(x)，则

2341x2

______

7

（答：）

2

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

T24，Tnna1(n1)a22an1an， 如（1）设{an}为等比数列，已知T11，

①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①a11，q2；②Tn2n1n2）；

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①111； n(n1)nn1

1 ②1(11)； n(nk)knnk

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