向量的运算基本定律

2022-12-31 21:03:19   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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向量的运算基本定律



1.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:

rr

⑴结合律:λ(μa)=(λμ) a;

rrr

⑵第一分配律:(λ+μ) a=λa+μa;

rrrr

bb⑶第二分配律:λ(a+)=λa+λ.

2.向量的数量积的运算律:

a·b= b·a (交换律); ⑵(a·b= a·b=a·b= a·b; ⑶(a+b·c= a ·c +b·c. 3.平面向量基本定理:

如果e1e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实

数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2

不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 4.向量平行的坐标表示: a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则aPb(b0)x1y2x2y10. 5ab的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 55. a·b的几何意义:

数量积a·b等于a的长度|a|ba的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 6.平面向量的坐标运算:

rrrr

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2). rrrr

⑵设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2).

uuuruuuruuur

(x,y)(x,y) ⑶设A11B22,ABOBOA(x2x1,y2y1).

⑷设a=(x,y),R,则a=(x,y).

rr

rrrr

⑸设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2).

7.两向量的夹角公式:

cos

x1x2y1y2xyxy

21

21

22

22

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

8.平面两点间的距离公式:

uuuruuuruuur22

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)B(x2,y2)).

9.向量的平行与垂直:

a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则


A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 10.线段的定比分公式:

uuuruuur

P1(x1,y1)P2(x2,y2)P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数,且PP1PP2,则

xy

x1x2

uuuruuuruuurOPOP21

OP1

y1y211

uuuruuuruuur1

. t(1t)OPOPtOP12

1

11.三角形的重心坐标公式:

ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(

x1x2x3y1y2y3

,). 33

12.点的平移公式:

''uuuruuurruuuxxhxxh''

OPOPPP . ''

yykyyk

uuur

'

:图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP

'

'

'

'

坐标为(h,k).

13“按向量平移”的几个结论:

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,C的函数解析式为

'

'

'

yf(xh)k.

图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,C的解析式yf(x),C的函数解析式为yf(xh)k.

线C:f(x,y)0a=(h,k)C,C

'

'

'

'

f(xh,yk)0.

向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).


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