向量的运算基本定律

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向量的运算基本定律



1．实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

rr

⑴结合律：λ(μa)=(λμ) a;

rrr

⑵第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa;

rrrr

bb⑶第二分配律：λ(a+)=λa+λ.

2．向量的数量积的运算律：

⑴ a·b= b·a （交换律）; ⑵（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; ⑶（a+b）·c= a ·c +b·c. 3．平面向量基本定理：

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实

数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．向量平行的坐标表示： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则aPb(b0)x1y2x2y10. 5．a与b的数量积(或内积)： a·b=|a||b|cosθ． 55. a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 6．平面向量的坐标运算：

rrrr

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). rrrr

⑵设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

uuuruuuruuur

(x,y)(x,y) ⑶设A11，B22,则ABOBOA(x2x1,y2y1).

⑷设a=(x,y),R，则a=(x,y).

rr

rrrr

⑸设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

7．两向量的夹角公式：

cos

x1x2y1y2xyxy

21

21

22

22

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

8．平面两点间的距离公式：

uuuruuuruuur22

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

9．向量的平行与垂直：

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则


A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 10．线段的定比分公式：

uuuruuur

设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，且PP1PP2，则

xy

x1x2

uuuruuuruuurOPOP21

OP1

y1y211

uuuruuuruuur1

（）. t(1t)OPOPtOP12

1

11．三角形的重心坐标公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(

x1x2x3y1y2y3

,). 33

12．点的平移公式：

''uuuruuurruuuxxhxxh''

OPOPPP . ''

yykyyk

uuur

'

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的

'

'

'

'

坐标为(h,k).

13．“按向量平移”的几个结论：

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

⑵ 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为

'

'

'

yf(xh)k.

⑶ 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

⑷曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为

'

'

'

'

f(xh,yk)0.

⑸ 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

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