加减消元法

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[科目] 数学

[关键词] 加减消元法/方程组 [文件] sxbj82.doc [标题] 加减消元法 [内容]

加减消元法

加减消元法（Cancellation by addition and subtraction ）指用加、减运算来消去方程组内变元的方法。中国《九章算术》中曾用“直除法”消元，即连续相减消去，这与加减消元的道理是一致的。

刘徽（约3世纪）在直除法的基础上创造了“相乘对减法”，即以同一未知数的系数互乘，然后相减消去该未知数。这与现在所用的加减消元法一致。

如以《九章算术》的《方程》章的第一题为例：

“今有上禾三秉，中和二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。向上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一；中禾一秉四斗四分斗之一；下禾一秉二斗四分斗之三”。

本题若用现在语言，设上、中、下禾一秉分别为 x、y、z斗，则



古人先列出三个方程的系数方块，如下图



将中行各数均乘以3，对应地减去右行各数二次；同样，将左行各数乘以3，对应地减去右行各数即得下式



然后再用中行的系数5、乘以左行各数，然后四次减去中行各数得下式




左行相当于36z=99，即z=11/4。 由上面解法可知，我国古代算法不但和加减消元法基本一致，而且解题程序与矩阵运算十分相似。

在其它国家，如古希腊的塞马力达斯（前380）就曾用语句叙述过某种特殊方程组的解法。印度数学家婆罗摩笈多在7世纪也解过一些方程组，但不及《九章算术》中所讲的清楚。

法国数学家彪特在1559年所着的《算术》中开始用不同的字母表示不同的未知数，并用与《九章算术》相似的消元法解一次方程组，但比起我国已晚了1300余年。

法国数学家培祖（1730-1783）在1764年所著的文章里叙述了用消元法解有关高次方程组的方法，不过我国数学家朱世杰（约13世纪）比培祖早四、五百年已用到此法。

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