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数学中八种重要思维模式
波利亚说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解 决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。如果一种解题方法是 你通过自己的努力而掌握的，或者是你从别处学来或听来并真正理解了的，那么 这种解法就可以成为你的一种模式，即在解类似问题时可用做模仿的一种模式J 波利亚在阐述他的数学思维模式时，总是从典型的问题出发，在解决它们的过程 中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升为更一般的模式，从而实质上就得到 了数学思维模式。它们是解题思维过程的一般思路的程序化的概括。也就是从样 例岀发，抽象概括出一般模式，这些模式的意义是在于它们形成了后续思维活动 中解决类似问题的通用思想方法。
下面介绍常用的八种重要的思维模式：
1逼近模式：
逼近模式就是朝着H标推移前进，逐步沟通条件与结论之间的联系而使问题 解决的思维方式。其思维程序是：
（1） 把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎。 （2） 选择适当的方向逐步逼近目标。
我们一般的分析法就是逼近模式。
2叠加模式
叠加模式是运用化整为零，以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层 实施各个击破而使问题获解的思维方式，其思维程序是：
（1） 把问题归结为若干种并列情形的总和或者插入有关的环节构成一组小问题； （2） 处理各种特殊情形或解决各个小问题，将它们适当组合（叠加）而得到问题的
一般解。
上述意义下的叠加是广义的，可以从对特殊情形的叠加，得到一般解厂也可以 分别解决子问题,将结果叠加得到问题的解;可以在条件与结论中间设立若干中 途点，构成小口标把原问题分解成一吊子问题，使前面问题的解决为后面问题的 解决服务将结果叠加得问题的解;也可以引进中间的媒介或辅助元素以达到解决 问题的目的。
3变换模式
变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其山难化易，山繁化简,从而最 终达到解决问题的思维方式，其思维程序是：
（1） 选择适当的变换，等价的或不等价的（加上约束条件）,以改变问题的表达 形式：
（2） 连续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到U 标状态
4映射模式
映射模式是把问题从本领域（或关系系统）映射到另一领域，在另一领域中获 解后再反演回原领域使问题解决的思维方式,它与变换模式在本质上是一致的， 但变换通常是从一个数学集合到它自身的映射，它的思维程序是:关系一映射一 定映一反演一得解
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5方程模式
方程模式(即函数模式)是通过列方程(或方程组)与解方程组来确定数学关 系或解决数学问题的思维方式它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的 一种基本方法，其思维程序是：
(1) 把问题归结为确定一个或儿个未知量；
(2) 列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式(即方程)； (3) 解所得的方程或方程组得出结果 6交轨模式
交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未知元素的轨迹或 (集合)，再通过叠加来确定未知元素而使问题解决的思维方式，它与方程模式有 部分相通的地方，交轨模式的思维程序是：
(1) 把问题归结为去确定一个“点” ----- 一个或儿个未知元素，或一个儿何
点,或一个解析点，或某个式子的值,或某种量的关系等.
(2) 把问题条件分离成儿个部分，使每一部分能确定所求“点”的一个轨迹(或 隼合)
、•(3)用轨迹(或集合)的交确定所求的“点”或未知元素，并由此得出问题的 解
7退化模式
退化模式是运用联系转化的思想,将问题按适当方向后退到能看清关系或悟 出解法的地步，再以退求进而达到问题结论的思维方式，其思维程序是：
(1) 将问题从整体或局部上后退，化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊 情形、极端情形等,而保持转化回原问题的联系通途；
(2) 用解决退化问题或情形的思维方法，经过适当变换以解决原问题•如降次 法,类比法，特殊化法，极端化法等
对于一些较难解决的一般性命题，可先从研究它的特例的解法入手，从中探 索、抽象、归纳出一般的解法规律
8递归模式
递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值来确定通 项或整个序列的思维方式它适用于定义在自然数集上的一类函数，是解决数学 问题的一种重要逻辑模式，在计算机科学中有着重要的应用，其思维程序是：
(1) 得出序列的第一项或前儿项。
(2) 找到一个或儿个关系式，使序列的一般项和它相邻的前若干项联系起来。 (3) 利用上面得到的关系式或通过变换求岀更为基本的关系式(如等差、等比关系 等)，
递推地求出序列的一般项或所有项。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/98820f7d8562caaedd3383c4bb4cf7ec4bfeb657.html
2023-01-25
