线性规划综合测试

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g3.1076 线性规划

一、知识要点

1、二元一次不等式表示平面区域

(1)一般地，二元一次不等式AxByC

0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0

某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线．

不等式AxByC0所表示的平面区域（半平面）包括边界线．

(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x,y)，使得AxByC的值符号相同。因此,如果直线AxByC0一侧的点使AxByC以判定不等式AxByC

0，另一侧的点就使AxByC0。所

0（或AxByC0）所表示的平面区域时，只要在直线

AxByC0的一侧任意取一点(x0,y0)，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足

不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域。

(3) 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2、线性规划 ⑴ 基本概念

名 称

意 义

线性约束条件 由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x,y的约束条件 目标函数

关于x,y的解析式

线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 可行域 最优解

满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 ⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤 ①、设出所求的未知数

②、列出约束条件（即不等式组） ③、建立目标函数 ④、作出可行域

⑤、运用图解法求出最优解

二、考试要求

1、了解二元一次不等式表示平面区域

(1) 能用语言表述二元一次不等式及不等式组，能用数学符号表示二元一次不等式及不等式组；

(2) 知道以二元一次不等式的所有解为坐标的点在平面内所表示的平面区域的特性； (3) 能画出一个二元一次不等式及不等式组所表示的平面区域；


2、了解线性规划的意义，并会进行简单的应用

(1) 能结合实例说明线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； (2) 能叙述线性规划问题的意义；

(3) 知道线性规划问题图解法的基本步骤，并能运用它解决一些简单的实际问题； (4) 学会把实际问题转化为线性规划问题的一般方法； 三、基本训练

1．不等式2xy40表示的平面区域在直线2xy40的 (A)左上方 (B)右上方 2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是

2xy202xy20

(B)x10 (A)x10

y20y22xy202xy20(C)x10(D)x10

0y20y2

-1

（ ）

(C)左下方 (D)右下方

（ ）

y

2



O

1

x

y

3．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数

zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，

C(1,

22

) 5



则a的值为（ ）

13(A) (B)

45

A(5,2)

(C)4

O 5

(D)

3

B(1,1)

x

4．原点和点(1,1)在直线xya0的两侧，则a的取值范围是 ． 5．由y|x1|1及y|x|1表示平面区域的面积是 . 四、例题分析

3x4y28

例1、Z＝0.9x+y，式中变量x,y满足下列条件0x6求Z的最小值。

0y4

例2、甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：

项 目 甲 乙 丙

维生素A（单位/千克） 600 700 400 维生素B（单位/千克） 800 400 500 成本（元/千克） 11 9 4

某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，使成本最低.

例3、已知6枝玫瑰与3枝康乃磬的价格之和大于24元，4枝玫瑰与5枝康乃磬的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格与3枝康乃磬的价格比较的结果是…………………………………( )

(A)2枝玫瑰价格高 (B) 3枝康乃磬价格高 (C) 价格相同 (D) 不确定 例4、某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重 10t的B型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公 路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已 知每辆卡车每天往返次数为A型8次，B型6次，每


次运输成本为A型160元，B型252元。每天应派出 A型、B型车各多少辆，能使公司总成本最低？

例5．某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/时（4v20）从A港到相距50海里的B港去，

0100）然后乘汽车以千米/时（3自B港到相距300千米的C市去，计划在当天下午4至9时到达C市.设乘船和汽车的时间分别为x和y小时，如果已知所要的经费（单位：元）

P1003(5x)(8y，那么)v，分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？

五、作业 同步练习 g3.1076 线性规划



1、在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0下，x=3x+4y的最大值是 （ ） A、9 B、10 C、11 D、12 2、设R为平面上以A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y的最大值与最小值分别为： （ ）

A、最大值14，最小值－18 B、最大值－14，最小值－18 C、最大值18，最小值14 D、最大值18，最小值－14 3、曲线x=y2与y=x2的交点个数是： （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

yx1

4. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组y3x1所表示的平面区域的面积为（ ）



（A）2 （B）

3 2

（C）

32

2

（D）2

xy20

y

5（江西卷）设实数x, y满足x2y40,则的最大值是

x2y30



xy5,3x2y12,

6.(山东卷）设x、y满足约束条件则使得目标函数z6x5y的最大的点(x,y)

0x3,0y4.

是 .

7、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。若软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？

8、某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2 和3 m2 ，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个。问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料（面积）最省？ 9、A1，A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1，B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1，B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1，B2的运费分别为7元/吨和8元/吨。问如何编制调运方案，可使总运费最少？ 10．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？


11．已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.



维生素A（单位/kg） 维生素B（单位/kg）

成本（元/kg）

食物P 400 800 6

食物Q 600 200 5

食物R 400 400 4

现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的

混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么x,y,z为何值时，混合物的成本最小？

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