台体表面积及体积公式推导

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1 设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相似比为r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x，则R·x－r·x＝h，则x＝h/(R-r)。 而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾2＋R·r＋r＾2）。

2 圆台侧面展开，就是一个大的扇形挖掉一个小的扇形 假设：大的扇形，半径是A,小的扇形，半径是a

那么他们对应的圆心角是一样的，也就是2πr/a=2πR/A=θ 所以(2πR-2πr)/(A-a)=θ也成立，这是由比例式性质得到的 这里A-a=L，也就是侧面母线长度,那么(2πR-2πr)/L=θ 所以a=(2πr)/θ=rL/(R-r) A=(2πR)/θ=RL/(R-r)

小扇形的面积S1=0.5*θa^2 大扇形的面积S2=0.5*θA^2

相减得到：侧面积=0.5*θ(A+a)(A-a)=0.5 * [(2πR-2πr)/L] * (R+r)L/(R-r) * L 最后整理一下，正好得到: 侧面积=π（RL+rL)

两个底面面积很简单，就不说了 最后三部分加起来，就是 S=π(R²+r²+RL+rL)

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