切割线定理及推论

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切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。



切割线定理示意图

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB（切割线定理） 推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD

证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB 证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

切割线定理的证明


∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT²=PB·PA

比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。



练：如图，⊙O的两条弦 AB、 CD相交于点 E， AC和 DB的延长线交于点 P， 下列结论成立的是（ ）． A.PC·CA=PB·BD ·AE=BE·ED ·CD=BE·BA ·PD=PC·PA



例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径。



例2.如图：自圆外一点P作直线PA切⊙O于A，过PA中点M，作割线交⊙O于B、C．求证：∠MPB=∠MCP．




例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等分点，弦EF过点C，弦GH过点D。求证：FC·CE=HD·DG

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