在极坐标系下二重积分的计算

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第九节 在极坐标系下二重积分的计算



根据微元法可得到极坐标系下的面积微元

drdrd 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为

xrcos, yrsin, 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd (9.1)

D

D



内容分布图示



★ 利用极坐标系计算二重积分 ★ 二重积分化为二次积分的公式

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★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-9 ★ 返回



内容提要：

一、二重积分的计算

1．如果积分区域D介于两条射线,之间，而对D内任一点(r,)，其极径总是介于曲线r1(),r2()之间（图6-9-2），则区域D的积分限

,1()r2().

于是

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd

D

D

d





2()

1()

f(rcos,rsin)rdr.(9.2)

具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间(,)上任意作一条极角为的射线穿透区域D（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径1(),2()就分别为内层积分的下限与上限.

2．如果积分区域D是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当

1()0,2()()的特例，此时，区域D的积分限


,0r().

于是





D

f(x,y)dxdyd



()

0

f(rcos,rsin)rdr.(9.3)

3．如果积分区域D如图6-9-4所示，极点位于D的内部，则可以把它看作是第二种情形中当0,2的特例，此时，区域D的积分限

02,0r().

于是

f(x,y)dxdy

D

2

0

d

()

0

f(rcos,rsin)rdr.(9.4)

注：根据二重积分的性质3，闭区域D的面积在极坐标系下可表示为

drdrd (9.5)

D

D

如果区域D如图6-9-3所示，则有

rdrdd

D

()

0

rdr

1

()d (9.6) 2



例题选讲：



例1（讲义例1）计算

dxdy22

，其中D是由xy1所确定的圆域. 221xyD

例2（讲义例2） 计算所确定的圆环域.



D

sin(x2y2)

x2y2

dxdy, 其中积分区域D是由1x2y24

y2

例3（讲义例3）计算2dxdy, 其中D是由曲线x2y22x所围成的平面区域.

xD

例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分

f(x,y)dxdy的二次积分，其中区域

D

D{(x,y)|1xy1x2,0x1}.

例5 计算



D

(x2y2)dxdy,其中D为由圆x2y22y,x2y24y及直线x3y0,

y3x0所围成的平面闭区域.


例6 将二重积分

2

f(x,y)d

D

化为极坐标形式的二次积分,其中D是曲线

aa22

及直线xy0所围成上半平面的区域. xya, xy

24

2

2

2

例7（讲义例5）求曲线(x2y2)22a2(x2y2)和x2y2a所围成区域D的面积.

例8（讲义例6）求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax(a0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.



课堂练习

1.计算2.计算

xeD

2

y2

dxdy, 其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域.

2222

其中D:xy3. |xy2|d,

D

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