球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1


球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、

n

r3、…rn



由相交弦定理得

1RR2

r12 = ·(2R—) = R2(—2) ,

nnnnr2

2 =

2R2R22222·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

3R2322

2·(2R—) = R(—2)，

nnnn

r3

2 = 3R

………………… rn2 =

n2nRnR2n2·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnn



R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

R3n22n+兀·（ — 2）

nnn

R32222n22n122223

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnnR3123n122232n2

=兀·（2×—）

nn2n

2


R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕 2

n6n

24n3n1

=兀R3 · 2

6n

211

=兀R3 ·（+2）

32n6n

11

当n趋近于∞时， = 0，2 = 0，

2n6n2

所以V半球 = 兀R3（ + 0 + 0 ）

3

2

= 兀R3

3

4

V球体体积 = 兀R3。

3



3

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