二次函数公式

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★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax的性质

(1)抛物线yax（a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数 yaxbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

22b4acb2. yaxhkyaxbxc，k4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中h

2

2

22

2

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

2

2

2

2

2

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb2b2

（，）(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线x. 

2a4a2a2a4a

2

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

2

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线xb,故：

2

2

2

2a

①b0时，对称轴为y轴；②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

a

③b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

a

(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0.

a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

x0(y轴) (0,0) yax2

当时 a0

x0(y轴) yax2k (0, k) 开口向上

2

当a0时 (h,0) yaxh xh 开口向下 2

yaxhk xh (h,k)

2

2

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yaxbxc

2

bx

2ab4acb2

，() 2a4a

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