函数点对称线对称及周期总结

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函数对称性、周期性全解析

函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下： 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个

值时，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(x)f(x)

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

探讨：（1）函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax) 简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，

y1f(x1)f(2ax1)，即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点

(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)，函数yf(x)关于直线x

对称

（2）函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b 简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通过f(2ax)f(x)2b可知，

(ax)(bx)ab



22

f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点

(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对

称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点(

（3）函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，

都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆

abc

,) 对称 22

c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。




4、 周期性：

（1）函数yf(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T A、f(xT)f(x) B、f(xT) C、f(x

11

或f(xT)

f(x)f(x)

T1f(x)T1f(x)

)或f(x)（等式右边加负号亦成立） 41f(x)41f(x)

D、其他情形

（2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出

f(x)f(2ax)f[b(2axb)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即

可以得到yf(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为

x

T

2kT(kz)，根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为2

(kT，0)(kz)（以上T0）

如果偶函数满足f(xT)f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心

为(

T

2kT,0)(kz)，根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为2

xT2kT(kz) （以上T0）

（4）如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是

以4T为周期的周期性函数。如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。

二、 两个函数的图象对称性

1、 yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。 2、 yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。 3、 yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。 4、 yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。 5、 yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

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